حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{1}{3} \cdot \frac{d y}{d x} = y + \frac{1}{3} x^{2} e^{3 x}$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة التفاضلية في صورة $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اطرح $y$ من كلا المتعادلين.

$\frac{1}{3} \frac{d y}{d x} - y = \frac{1}{3} x^{2} e^{3 x}$

خطوة 1.2

اضرب كل حد في $\frac{1}{3} \frac{d y}{d x} - y = \frac{1}{3} x^{2} e^{3 x}$ في $3$ .

$\frac{1}{3} \frac{d y}{d x} \cdot 3 - y \cdot 3 = \frac{1}{3} x^{2} e^{3 x} \cdot 3$

خطوة 1.3

اجمع $\frac{1}{3}$ و $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{3} \cdot 3 - y \cdot 3 = \frac{1}{3} x^{2} e^{3 x} \cdot 3$

خطوة 1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{3} \cdot 3 - y \cdot 3 = \frac{1}{3} x^{2} e^{3 x} \cdot 3$

خطوة 1.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d y}{d x} - y \cdot 3 = \frac{1}{3} x^{2} e^{3 x} \cdot 3$

خطوة 1.5

اضرب $3$ في $- 1$ .

$\frac{d y}{d x} - 3 y = \frac{1}{3} x^{2} e^{3 x} \cdot 3$

خطوة 1.6

اجمع $\frac{1}{3}$ و $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} - 3 y = \frac{x^{2}}{3} e^{3 x} \cdot 3$

خطوة 1.7

اجمع $\frac{x^{2}}{3}$ و $e^{3 x}$ .

$\frac{d y}{d x} - 3 y = \frac{x^{2} e^{3 x}}{3} \cdot 3$

خطوة 1.8

اجمع $\frac{x^{2} e^{3 x}}{3}$ و $3$ .

$\frac{d y}{d x} - 3 y = \frac{3}{3} x^{2} e^{3 x}$

خطوة 1.9

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.9.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d y}{d x} - 3 y = \frac{3}{3} x^{2} e^{3 x}$

خطوة 1.9.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d y}{d x} - 3 y = 1 x^{2} e^{3 x}$

خطوة 2

عامل التكامل معرّف من خلال القاعدة $e^{\int P (x) d x}$ ، حيث $P (x) = - 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل.

$e^{\int - 3 d x}$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$e^{- 3 x + C}$

خطوة 2.3

احذف ثابت التكامل.

$e^{- 3 x}$

خطوة 3

اضرب كل حد في عامل التكامل $e^{- 3 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كل حد في $e^{- 3 x}$ .

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} + e^{- 3 x} (- 3 y) = e^{- 3 x} (1 x^{2} e^{3 x})$

خطوة 3.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = e^{- 3 x} (1 x^{2} e^{3 x})$

خطوة 3.3

اضرب $e^{- 3 x}$ في $e^{3 x}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

انقُل $e^{3 x}$ .

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = e^{3 x} e^{- 3 x} (1 x^{2})$

خطوة 3.3.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = e^{3 x - 3 x} (1 x^{2})$

خطوة 3.3.3

اطرح $3 x$ من $3 x$ .

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = e^{0} (1 x^{2})$

خطوة 3.4

بسّط $e^{0} (1 x^{2})$ .

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = x^{2}$

خطوة 3.5

أعِد ترتيب العوامل في $e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = x^{2}$ .

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 y e^{- 3 x} = x^{2}$

خطوة 4

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d x} [e^{- 3 x} y] = x^{2}$

خطوة 5

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- 3 x} y] d x = \int x^{2} d x$

خطوة 6

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$e^{- 3 x} y = \int x^{2} d x$

خطوة 7

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$e^{- 3 x} y = \frac{1}{3} x^{3} + C$

خطوة 8

اقسِم كل حد في $e^{- 3 x} y = \frac{1}{3} x^{3} + C$ على $e^{- 3 x}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اقسِم كل حد في $e^{- 3 x} y = \frac{1}{3} x^{3} + C$ على $e^{- 3 x}$ .

$\frac{e^{- 3 x} y}{e^{- 3 x}} = \frac{\frac{1}{3} x^{3}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

خطوة 8.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{- 3 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{e^{- 3 x} y}{e^{- 3 x}} = \frac{\frac{1}{3} x^{3}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

خطوة 8.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{3} x^{3}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

خطوة 8.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.1

اجمع $\frac{1}{3}$ و $x^{3}$ .

$y = \frac{\frac{x^{3}}{3}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

خطوة 8.3.1.2

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$y = \frac{x^{3}}{3} \cdot \frac{1}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

خطوة 8.3.1.3

اجمع.

$y = \frac{x^{3} \cdot 1}{3 e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

خطوة 8.3.1.4

اضرب $x^{3}$ في $1$ .

$y = \frac{x^{3}}{3 e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$