حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{21 \sec^{2} (x) \tan (x)}{10}$

خطوة 1

أوجِد تكامل كلا الطرفين بالنسبة إلى $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

المشتق الأول يساوي تكامل المشتق الثاني بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{d y}{d x} = \int \frac{21 \sec^{2} (x) \tan (x)}{10} d x$

خطوة 1.2

بما أن $\frac{21}{10}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{21}{10}$ خارج التكامل.

$\frac{d y}{d x} = \frac{21}{10} \int \sec^{2} (x) \tan (x) d x$

خطوة 1.3

لنفترض أن $u = \sec (x)$ . إذن $d u = \sec (x) \tan (x) d x$ ، لذا $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

افترض أن $u = \sec (x)$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.1

أوجِد مشتقة $\sec (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (x)]$

خطوة 1.3.1.2

مشتق $\sec (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x)$

خطوة 1.3.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{21}{10} \int u d u$

خطوة 1.4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{21}{10} (\frac{1}{2} u^{2} + C_{1})$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

أعِد كتابة $\frac{21}{10} (\frac{1}{2} u^{2} + C_{1})$ بالصيغة $\frac{21}{10} \cdot \frac{1}{2} u^{2} + C_{1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{21}{10} \cdot \frac{1}{2} u^{2} + C_{1}$

خطوة 1.5.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.1

اضرب $\frac{21}{10}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{21}{10 \cdot 2} u^{2} + C_{1}$

خطوة 1.5.2.2

اضرب $10$ في $2$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{21}{20} u^{2} + C_{1}$

خطوة 1.6

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\sec (x)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{21}{20} \sec^{2} (x) + C_{1}$

خطوة 2

أعِد كتابة المعادلة.

$d y = (\frac{21}{20} \sec^{2} (x) + C_{1}) d x$

خطوة 3

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d y = \int \frac{21}{20} \sec^{2} (x) + C_{1} d x$

خطوة 3.2

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{2} = \int \frac{21}{20} \sec^{2} (x) + C_{1} d x$

خطوة 3.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$y + C_{2} = \int \frac{21}{20} \sec^{2} (x) d x + \int C_{1} d x$

خطوة 3.3.2

بما أن $\frac{21}{20}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{21}{20}$ خارج التكامل.

$y + C_{2} = \frac{21}{20} \int \sec^{2} (x) d x + \int C_{1} d x$

خطوة 3.3.3

بما أن مشتق $\tan (x)$ هو $\sec^{2} (x)$ ، إذن تكامل $\sec^{2} (x)$ هو $\tan (x)$ .

$y + C_{2} = \frac{21}{20} (\tan (x) + C_{3}) + \int C_{1} d x$

خطوة 3.3.4

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{2} = \frac{21}{20} (\tan (x) + C_{3}) + C_{1} x + C_{4}$

خطوة 3.3.5

بسّط.

$y + C_{2} = \frac{21}{20} \tan (x) + C_{1} x + C_{5}$

خطوة 3.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $D$ .

$y = \frac{21}{20} \tan (x) + C x + D$