حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(y^{2} - 2 x y + 6 x) d x - (x^{2} - 2 x y + 2) d y = 0$

خطوة 1

أوجِد $\frac{\partial M}{\partial y}$ حيث $M (x, y) = y^{2} - 2 x y + 6 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة $M$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2} - 2 x y + 6 x]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $y^{2} - 2 x y + 6 x$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [6 x]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [6 x]$

خطوة 1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [6 x]$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [- 2 x y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بما أن $- 2 x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $- 2 x y$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $- 2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y - 2 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [6 x]$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y - 2 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [6 x]$

خطوة 1.3.3

اضرب $- 2$ في $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y - 2 x + \frac{d}{d y} [6 x]$

خطوة 1.4

بما أن $6 x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $6 x$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y - 2 x + 0$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

أضف $2 y - 2 x$ و $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y - 2 x$

خطوة 1.5.2

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 x + 2 y$

خطوة 2

أوجِد $\frac{\partial N}{\partial x}$ حيث $N (x, y) = - (x^{2} - 2 x y + 2)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد مشتقة $N$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (x^{2} - 2 x y + 2)]$

خطوة 2.2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- (x^{2} - 2 x y + 2)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x y + 2]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x y + 2]$

خطوة 2.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} - 2 x y + 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [2])$

خطوة 2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [2])$

خطوة 2.5

بما أن $- 2 y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 2 x y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x - 2 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])$

خطوة 2.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x - 2 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2])$

خطوة 2.7

اضرب $- 2$ في $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x - 2 y + \frac{d}{d x} [2])$

خطوة 2.8

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x - 2 y + 0)$

خطوة 2.9

أضف $2 x - 2 y$ و $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x - 2 y)$

خطوة 2.10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.10.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x) - (- 2 y)$

خطوة 2.10.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.10.2.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 x - (- 2 y)$

خطوة 2.10.2.2

اضرب $- 2$ في $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 x + 2 y$

خطوة 3

تحقق من أن $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بـ $- 2 x + 2 y$ عن $\frac{\partial M}{\partial y}$ وبـ $- 2 x + 2 y$ عن $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 2 x + 2 y = - 2 x + 2 y$

خطوة 3.2

بما أن الطرفين تبين أنهما متكافئان، إذن المعادلة تمثل متطابقة.

$- 2 x + 2 y = - 2 x + 2 y$ تمثل متطابقة.

خطوة 4

عيّن $f (x, y)$ لتساوي تكامل $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - (x^{2} - 2 x y + 2) d y$

خطوة 5

أوجِد التكامل لـ $N (x, y) = - (x^{2} - 2 x y + 2)$ لإيجاد $f (x, y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$f (x, y) = - \int x^{2} - 2 x y + 2 d y$

خطوة 5.2

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$f (x, y) = - (\int x^{2} d y + \int - 2 x y d y + \int 2 d y)$

خطوة 5.3

طبّق قاعدة الثابت.

$f (x, y) = - (x^{2} y + C + \int - 2 x y d y + \int 2 d y)$

خطوة 5.4

بما أن $- 2 x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $- 2 x$ خارج التكامل.

$f (x, y) = - (x^{2} y + C - 2 x \int y d y + \int 2 d y)$

خطوة 5.5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = - (x^{2} y + C - 2 x (\frac{1}{2} y^{2} + C) + \int 2 d y)$

خطوة 5.6

طبّق قاعدة الثابت.

$f (x, y) = - (x^{2} y + C - 2 x (\frac{1}{2} y^{2} + C) + 2 y + C)$

خطوة 5.7

اجمع $\frac{1}{2}$ و $y^{2}$ .

$f (x, y) = - (x^{2} y + C - 2 x (\frac{y^{2}}{2} + C) + 2 y + C)$

خطوة 5.8

بسّط.

$f (x, y) = - (x^{2} y - x y^{2} + 2 y) + C$

خطوة 6

بما أن تكامل $g (x)$ سيحتوي على ثابت التكامل، إذن يمكننا استبدال $C$ بـ $g (x)$ .

$f (x, y) = - (x^{2} y - x y^{2} + 2 y) + g (x)$

خطوة 7

عيّن $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = y^{2} - 2 x y + 6 x$

خطوة 8

أوجِد $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أوجِد مشتقة $f$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{d}{d x} [- (x^{2} y - x y^{2} + 2 y) + g (x)] = y^{2} - 2 x y + 6 x$

خطوة 8.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- (x^{2} y - x y^{2} + 2 y) + g (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- (x^{2} y - x y^{2} + 2 y)] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- (x^{2} y - x y^{2} + 2 y)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} - 2 x y + 6 x$

خطوة 8.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- (x^{2} y - x y^{2} + 2 y)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- (x^{2} y - x y^{2} + 2 y)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{2} y - x y^{2} + 2 y]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{2} y - x y^{2} + 2 y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} - 2 x y + 6 x$

خطوة 8.3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} y - x y^{2} + 2 y$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- x y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$ .

$- (\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- x y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} - 2 x y + 6 x$

خطوة 8.3.3

بما أن $y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $x^{2} y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- (y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} - 2 x y + 6 x$

خطوة 8.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$- (y (2 x) + \frac{d}{d x} [- x y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} - 2 x y + 6 x$

خطوة 8.3.5

بما أن $- y^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- y^{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- (y (2 x) - y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} - 2 x y + 6 x$

خطوة 8.3.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- (y (2 x) - y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} - 2 x y + 6 x$

خطوة 8.3.7

بما أن $2 y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $2 y$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$- (y (2 x) - y^{2} \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} - 2 x y + 6 x$

خطوة 8.3.8

انقُل $2$ إلى يسار $y$ .

$- (2 \cdot y x - y^{2} \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} - 2 x y + 6 x$

خطوة 8.3.9

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- (2 y x - y^{2} + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} - 2 x y + 6 x$

خطوة 8.3.10

أضف $2 y x - y^{2}$ و $0$ .

$- (2 y x - y^{2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} - 2 x y + 6 x$

خطوة 8.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة التي تنص على أن مشتق $g (x)$ هو $\frac{d g}{d x}$ .

$- (2 y x - y^{2}) + \frac{d g}{d x} = y^{2} - 2 x y + 6 x$

خطوة 8.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$- (2 y x) - - y^{2} + \frac{d g}{d x} = y^{2} - 2 x y + 6 x$

خطوة 8.5.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.5.2.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$- 2 (y x) - - y^{2} + \frac{d g}{d x} = y^{2} - 2 x y + 6 x$

خطوة 8.5.2.2

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$- 2 y x + 1 y^{2} + \frac{d g}{d x} = y^{2} - 2 x y + 6 x$

خطوة 8.5.2.3

اضرب $y^{2}$ في $1$ .

$- 2 y x + y^{2} + \frac{d g}{d x} = y^{2} - 2 x y + 6 x$

خطوة 8.5.3

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{d g}{d x} + y^{2} - 2 x y = y^{2} - 2 x y + 6 x$

خطوة 9

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $\frac{d g}{d x}$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

اطرح $y^{2}$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d x} - 2 x y = y^{2} - 2 x y + 6 x - y^{2}$

خطوة 9.1.2

أضف $2 x y$ إلى كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d x} = y^{2} - 2 x y + 6 x - y^{2} + 2 x y$

خطوة 9.1.3

جمّع الحدود المتعاكسة في $y^{2} - 2 x y + 6 x - y^{2} + 2 x y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.3.1

اطرح $y^{2}$ من $y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} = - 2 x y + 6 x + 0 + 2 x y$

خطوة 9.1.3.2

أضف $- 2 x y + 6 x$ و $0$ .

$\frac{d g}{d x} = - 2 x y + 6 x + 2 x y$

خطوة 9.1.3.3

أضف $- 2 x y$ و $2 x y$ .

$\frac{d g}{d x} = 6 x + 0$

خطوة 9.1.3.4

أضف $6 x$ و $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 6 x$

خطوة 10

أوجِد المشتق العكسي لـ $6 x$ لإيجاد $g (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

أوجِد تكامل كلا طرفي $\frac{d g}{d x} = 6 x$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 6 x d x$

خطوة 10.2

احسِب قيمة $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 6 x d x$

خطوة 10.3

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $6$ خارج التكامل.

$g (x) = 6 \int x d x$

خطوة 10.4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = 6 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

خطوة 10.5

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.5.1

أعِد كتابة $6 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ بالصيغة $6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$g (x) = 6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

خطوة 10.5.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.5.2.1

اجمع $6$ و $\frac{1}{2}$ .

$g (x) = \frac{6}{2} x^{2} + C$

خطوة 10.5.2.2

احذِف العامل المشترك لـ $6$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.5.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$g (x) = \frac{2 \cdot 3}{2} x^{2} + C$

خطوة 10.5.2.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.5.2.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$g (x) = \frac{2 \cdot 3}{2 (1)} x^{2} + C$

خطوة 10.5.2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$g (x) = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} x^{2} + C$

خطوة 10.5.2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$g (x) = \frac{3}{1} x^{2} + C$

خطوة 10.5.2.2.2.4

اقسِم $3$ على $1$ .

$g (x) = 3 x^{2} + C$

خطوة 11

عوّض عن $g (x)$ في $f (x, y) = - (x^{2} y - x y^{2} + 2 y) + g (x)$ .

$f (x, y) = - (x^{2} y - x y^{2} + 2 y) + 3 x^{2} + C$

خطوة 12

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f (x, y) = - (x^{2} y) - (- x y^{2}) - (2 y) + 3 x^{2} + C$

خطوة 12.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1

اضرب $- (- x y^{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$f (x, y) = - x^{2} y + 1 (x y^{2}) - (2 y) + 3 x^{2} + C$

خطوة 12.2.1.2

اضرب $x$ في $1$ .

$f (x, y) = - x^{2} y + x y^{2} - (2 y) + 3 x^{2} + C$

خطوة 12.2.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f (x, y) = - x^{2} y + x y^{2} - 2 y + 3 x^{2} + C$