حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} - y = x y^{5}$

خطوة 1

لحل المعادلة التفاضلية، افترض أن $v = y^{1 - n}$ حيث $n$ هو أُس $y^{5}$ .

$v = y^{- 4}$

خطوة 2

أوجِد قيمة $y$ في المعادلة.

$y = v^{- \frac{1}{4}}$

خطوة 3

خُذ مشتق $y$ بالنسبة إلى $x$ .

$y' = v^{- \frac{1}{4}}$

خطوة 4

خُذ مشتق $v^{- \frac{1}{4}}$ بالنسبة إلى $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

خُذ مشتق $v^{- \frac{1}{4}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- \frac{1}{4}}]$

خطوة 4.2

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v^{\frac{1}{4}}}]$

خطوة 4.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = 1$ و $g (x) = v^{\frac{1}{4}}$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{4}} \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{4}}]}{{(v^{\frac{1}{4}})}^{2}}$

خطوة 4.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{4}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{4}}]}{{(v^{\frac{1}{4}})}^{2}}$

خطوة 4.4.2

اضرب الأُسس في ${(v^{\frac{1}{4}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{4}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{4}}]}{v^{\frac{1}{4} \cdot 2}}$

خطوة 4.4.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{4}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{4}}]}{v^{\frac{1}{2 (2)} \cdot 2}}$

خطوة 4.4.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y' = \frac{v^{\frac{1}{4}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{4}}]}{v^{\frac{1}{2 \cdot 2} \cdot 2}}$

خطوة 4.4.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y' = \frac{v^{\frac{1}{4}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{4}}]}{v^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4.4.3

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{4}} \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{4}}]}{v^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4.4.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.4.1

اضرب $v^{\frac{1}{4}}$ في $0$ .

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{4}}]}{v^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4.4.4.2

اطرح $\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{4}}]$ من $0$ .

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{4}}]}{v^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4.4.4.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{4}}]}{v^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{1}{4}}$ و $g (x) = v$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $v$ .

$y' = - \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{4}}] \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4.5.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{4}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{4} u^{\frac{1}{4} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4.5.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $v$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{4} v^{\frac{1}{4} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4.6

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{4} v^{\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4.7

اجمع $- 1$ و $\frac{4}{4}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{4} v^{\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4.8

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y' = - \frac{\frac{1}{4} v^{\frac{1 - 1 \cdot 4}{4}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4.9

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.9.1

اضرب $- 1$ في $4$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{4} v^{\frac{1 - 4}{4}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4.9.2

اطرح $4$ من $1$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{4} v^{\frac{- 3}{4}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4.10

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{\frac{1}{4} v^{- \frac{3}{4}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4.11

اجمع $\frac{1}{4}$ و $v^{- \frac{3}{4}}$ .

$y' = - \frac{\frac{v^{- \frac{3}{4}}}{4} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4.12

انقُل $v^{- \frac{3}{4}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{4 v^{\frac{3}{4}}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4.13

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [v]$ بالصيغة $v'$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{4 v^{\frac{3}{4}}} v'}{v^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4.14

اجمع $\frac{1}{4 v^{\frac{3}{4}}}$ و $v'$ .

$y' = - \frac{\frac{v'}{4 v^{\frac{3}{4}}}}{v^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4.15

أعِد كتابة $\frac{\frac{v'}{4 v^{\frac{3}{4}}}}{v^{\frac{1}{2}}}$ في صورة حاصل ضرب.

$y' = - (\frac{v'}{4 v^{\frac{3}{4}}} \cdot \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}})$

خطوة 4.16

اضرب $\frac{v'}{4 v^{\frac{3}{4}}}$ في $\frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}$ .

$y' = - \frac{v'}{4 v^{\frac{3}{4}} v^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4.17

اضرب $v^{\frac{3}{4}}$ في $v^{\frac{1}{2}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.17.1

انقُل $v^{\frac{1}{2}}$ .

$y' = - \frac{v'}{4 (v^{\frac{1}{2}} v^{\frac{3}{4}})}$

خطوة 4.17.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$y' = - \frac{v'}{4 v^{\frac{1}{2} + \frac{3}{4}}}$

خطوة 4.17.3

لكتابة $\frac{1}{2}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{v'}{4 v^{\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{4}}}$

خطوة 4.17.4

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $4$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.17.4.1

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{v'}{4 v^{\frac{2}{2 \cdot 2} + \frac{3}{4}}}$

خطوة 4.17.4.2

اضرب $2$ في $2$ .

$y' = - \frac{v'}{4 v^{\frac{2}{4} + \frac{3}{4}}}$

خطوة 4.17.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y' = - \frac{v'}{4 v^{\frac{2 + 3}{4}}}$

خطوة 4.17.6

أضف $2$ و $3$ .

$y' = - \frac{v'}{4 v^{\frac{5}{4}}}$

خطوة 5

عوّض بـ $- \frac{v'}{4 v^{\frac{5}{4}}}$ عن $\frac{d y}{d x}$ وبـ $v^{- \frac{1}{4}}$ عن $y$ في المعادلة الأصلية $\frac{d y}{d x} - y = x y^{5}$ .

$- \frac{v'}{4 v^{\frac{5}{4}}} - v^{- \frac{1}{4}} = x {(v^{- \frac{1}{4}})}^{5}$

خطوة 6

أوجِد حل المعادلة التفاضلية المُعوض عنها.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب كل حد في $- \frac{\frac{d v}{d x}}{4 v^{\frac{5}{4}}} - v^{- \frac{1}{4}} = x {(v^{- \frac{1}{4}})}^{5}$ في $- (4 v^{\frac{5}{4}})$ لحذف الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

اضرب كل حد في $- \frac{\frac{d v}{d x}}{4 v^{\frac{5}{4}}} - v^{- \frac{1}{4}} = x {(v^{- \frac{1}{4}})}^{5}$ في $- (4 v^{\frac{5}{4}})$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{4 v^{\frac{5}{4}}} (- (4 v^{\frac{5}{4}})) - v^{- \frac{1}{4}} (- (4 v^{\frac{5}{4}})) = x {(v^{- \frac{1}{4}})}^{5} (- (4 v^{\frac{5}{4}}))$

خطوة 6.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $4 v^{\frac{5}{4}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.2.1.1.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{\frac{d v}{d x}}{4 v^{\frac{5}{4}}}$ إلى بسط الكسر.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{4 v^{\frac{5}{4}}} (- (4 v^{\frac{5}{4}})) - v^{- \frac{1}{4}} (- (4 v^{\frac{5}{4}})) = x {(v^{- \frac{1}{4}})}^{5} (- (4 v^{\frac{5}{4}}))$

خطوة 6.1.2.1.1.2

أخرِج العامل $4 v^{\frac{5}{4}}$ من $- (4 v^{\frac{5}{4}})$ .

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{4 v^{\frac{5}{4}}} (4 v^{\frac{5}{4}} (- 1)) - v^{- \frac{1}{4}} (- (4 v^{\frac{5}{4}})) = x {(v^{- \frac{1}{4}})}^{5} (- (4 v^{\frac{5}{4}}))$

خطوة 6.1.2.1.1.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{4 v^{\frac{5}{4}}} (4 v^{\frac{5}{4}} \cdot - 1) - v^{- \frac{1}{4}} (- (4 v^{\frac{5}{4}})) = x {(v^{- \frac{1}{4}})}^{5} (- (4 v^{\frac{5}{4}}))$

خطوة 6.1.2.1.1.4

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 - v^{- \frac{1}{4}} (- (4 v^{\frac{5}{4}})) = x {(v^{- \frac{1}{4}})}^{5} (- (4 v^{\frac{5}{4}}))$

خطوة 6.1.2.1.2

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1 \frac{d v}{d x} - v^{- \frac{1}{4}} (- (4 v^{\frac{5}{4}})) = x {(v^{- \frac{1}{4}})}^{5} (- (4 v^{\frac{5}{4}}))$

خطوة 6.1.2.1.3

اضرب $\frac{d v}{d x}$ في $1$ .

$\frac{d v}{d x} - v^{- \frac{1}{4}} (- (4 v^{\frac{5}{4}})) = x {(v^{- \frac{1}{4}})}^{5} (- (4 v^{\frac{5}{4}}))$

خطوة 6.1.2.1.4

اضرب $v^{- \frac{1}{4}}$ في $v^{\frac{5}{4}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.2.1.4.1

انقُل $v^{\frac{5}{4}}$ .

$\frac{d v}{d x} - (v^{\frac{5}{4}} v^{- \frac{1}{4}}) (- 1 \cdot (4)) = x {(v^{- \frac{1}{4}})}^{5} (- (4 v^{\frac{5}{4}}))$

خطوة 6.1.2.1.4.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{d v}{d x} - v^{\frac{5}{4} - \frac{1}{4}} (- 1 \cdot (4)) = x {(v^{- \frac{1}{4}})}^{5} (- (4 v^{\frac{5}{4}}))$

خطوة 6.1.2.1.4.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{d v}{d x} - v^{\frac{5 - 1}{4}} (- 1 \cdot (4)) = x {(v^{- \frac{1}{4}})}^{5} (- (4 v^{\frac{5}{4}}))$

خطوة 6.1.2.1.4.4

اطرح $1$ من $5$ .

$\frac{d v}{d x} - v^{\frac{4}{4}} (- 1 \cdot (4)) = x {(v^{- \frac{1}{4}})}^{5} (- (4 v^{\frac{5}{4}}))$

خطوة 6.1.2.1.4.5

اقسِم $4$ على $4$ .

$\frac{d v}{d x} - v^{1} (- 1 \cdot (4)) = x {(v^{- \frac{1}{4}})}^{5} (- (4 v^{\frac{5}{4}}))$

خطوة 6.1.2.1.5

بسّط $- v^{1} (- 1 \cdot (4))$ .

$\frac{d v}{d x} - v (- 1 \cdot (4)) = x {(v^{- \frac{1}{4}})}^{5} (- (4 v^{\frac{5}{4}}))$

خطوة 6.1.2.1.6

اضرب $- 1$ في $4$ .

$\frac{d v}{d x} - v \cdot - 4 = x {(v^{- \frac{1}{4}})}^{5} (- (4 v^{\frac{5}{4}}))$

خطوة 6.1.2.1.7

اضرب $- 4$ في $- 1$ .

$\frac{d v}{d x} + 4 v = x {(v^{- \frac{1}{4}})}^{5} (- (4 v^{\frac{5}{4}}))$

خطوة 6.1.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.3.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{d v}{d x} + 4 v = - 1 \cdot 4 x {(v^{- \frac{1}{4}})}^{5} v^{\frac{5}{4}}$

خطوة 6.1.3.2

اضرب $- 1$ في $4$ .

$\frac{d v}{d x} + 4 v = - 4 x {(v^{- \frac{1}{4}})}^{5} v^{\frac{5}{4}}$

خطوة 6.1.3.3

اضرب الأُسس في ${(v^{- \frac{1}{4}})}^{5}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.3.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d v}{d x} + 4 v = - 4 x v^{- \frac{1}{4} \cdot 5} v^{\frac{5}{4}}$

خطوة 6.1.3.3.2

اضرب $- \frac{1}{4} \cdot 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.3.3.2.1

اضرب $5$ في $- 1$ .

$\frac{d v}{d x} + 4 v = - 4 x v^{- 5 (\frac{1}{4})} v^{\frac{5}{4}}$

خطوة 6.1.3.3.2.2

اجمع $- 5$ و $\frac{1}{4}$ .

$\frac{d v}{d x} + 4 v = - 4 x v^{\frac{- 5}{4}} v^{\frac{5}{4}}$

خطوة 6.1.3.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{d v}{d x} + 4 v = - 4 x v^{- \frac{5}{4}} v^{\frac{5}{4}}$

خطوة 6.1.3.4

اضرب $v^{- \frac{5}{4}}$ في $v^{\frac{5}{4}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.3.4.1

انقُل $v^{\frac{5}{4}}$ .

$\frac{d v}{d x} + 4 v = - 4 x (v^{\frac{5}{4}} v^{- \frac{5}{4}})$

خطوة 6.1.3.4.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{d v}{d x} + 4 v = - 4 x v^{\frac{5}{4} - \frac{5}{4}}$

خطوة 6.1.3.4.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{d v}{d x} + 4 v = - 4 x v^{\frac{5 - 5}{4}}$

خطوة 6.1.3.4.4

اطرح $5$ من $5$ .

$\frac{d v}{d x} + 4 v = - 4 x v^{\frac{0}{4}}$

خطوة 6.1.3.4.5

اقسِم $0$ على $4$ .

$\frac{d v}{d x} + 4 v = - 4 x v^{0}$

خطوة 6.1.3.5

بسّط $- 4 x v^{0}$ .

$\frac{d v}{d x} + 4 v = - 4 x$

خطوة 6.2

عامل التكامل معرّف من خلال القاعدة $e^{\int P (x) d x}$ ، حيث $P (x) = 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

عيّن التكامل.

$e^{\int 4 d x}$

خطوة 6.2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$e^{4 x + C}$

خطوة 6.2.3

احذف ثابت التكامل.

$e^{4 x}$

خطوة 6.3

اضرب كل حد في عامل التكامل $e^{4 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

اضرب كل حد في $e^{4 x}$ .

$e^{4 x} \frac{d v}{d x} + e^{4 x} (4 v) = e^{4 x} (- 4 x)$

خطوة 6.3.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$e^{4 x} \frac{d v}{d x} + 4 e^{4 x} v = e^{4 x} (- 4 x)$

خطوة 6.3.3

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$e^{4 x} \frac{d v}{d x} + 4 e^{4 x} v = - 4 e^{4 x} x$

خطوة 6.3.4

أعِد ترتيب العوامل في $e^{4 x} \frac{d v}{d x} + 4 e^{4 x} v = - 4 e^{4 x} x$ .

$e^{4 x} \frac{d v}{d x} + 4 v e^{4 x} = - 4 x e^{4 x}$

خطوة 6.4

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d x} [e^{4 x} v] = - 4 x e^{4 x}$

خطوة 6.5

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d x} [e^{4 x} v] d x = \int - 4 x e^{4 x} d x$

خطوة 6.6

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$e^{4 x} v = \int - 4 x e^{4 x} d x$

خطوة 6.7

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.7.1

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 4$ خارج التكامل.

$e^{4 x} v = - 4 \int x e^{4 x} d x$

خطوة 6.7.2

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = x$ و $d v = e^{4 x}$ .

$e^{4 x} v = - 4 (x (\frac{1}{4} e^{4 x}) - \int \frac{1}{4} e^{4 x} d x)$

خطوة 6.7.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.7.3.1

اجمع $\frac{1}{4}$ و $e^{4 x}$ .

$e^{4 x} v = - 4 (x \frac{e^{4 x}}{4} - \int \frac{1}{4} e^{4 x} d x)$

خطوة 6.7.3.2

اجمع $x$ و $\frac{e^{4 x}}{4}$ .

$e^{4 x} v = - 4 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \int \frac{1}{4} e^{4 x} d x)$

خطوة 6.7.3.3

اجمع $\frac{1}{4}$ و $e^{4 x}$ .

$e^{4 x} v = - 4 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \int \frac{e^{4 x}}{4} d x)$

خطوة 6.7.4

بما أن $\frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{4}$ خارج التكامل.

$e^{4 x} v = - 4 (\frac{x e^{4 x}}{4} - (\frac{1}{4} \int e^{4 x} d x))$

خطوة 6.7.5

لنفترض أن $u = 4 x$ . إذن $d u = 4 d x$ ، لذا $\frac{1}{4} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.7.5.1

افترض أن $u = 4 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.7.5.1.1

أوجِد مشتقة $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

خطوة 6.7.5.1.2

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 6.7.5.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

خطوة 6.7.5.1.4

اضرب $4$ في $1$ .

$4$

خطوة 6.7.5.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$e^{4 x} v = - 4 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{4} \int e^{u} \frac{1}{4} d u)$

خطوة 6.7.6

اجمع $e^{u}$ و $\frac{1}{4}$ .

$e^{4 x} v = - 4 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{4} \int \frac{e^{u}}{4} d u)$

خطوة 6.7.7

بما أن $\frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{4}$ خارج التكامل.

$e^{4 x} v = - 4 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \int e^{u} d u))$

خطوة 6.7.8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.7.8.1

اضرب $\frac{1}{4}$ في $\frac{1}{4}$ .

$e^{4 x} v = - 4 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{4 \cdot 4} \int e^{u} d u)$

خطوة 6.7.8.2

اضرب $4$ في $4$ .

$e^{4 x} v = - 4 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} \int e^{u} d u)$

خطوة 6.7.9

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$e^{4 x} v = - 4 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u} + C))$

خطوة 6.7.10

أعِد كتابة $- 4 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u} + C))$ بالصيغة $- 4 (\frac{1}{4} x e^{4 x} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$ .

$e^{4 x} v = - 4 (\frac{1}{4} x e^{4 x} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$

خطوة 6.7.11

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $4 x$ .

$e^{4 x} v = - 4 (\frac{1}{4} x e^{4 x} - \frac{1}{16} e^{4 x}) + C$

خطوة 6.7.12

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.7.12.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.7.12.1.1

اجمع $\frac{1}{4}$ و $x$ .

$e^{4 x} v = - 4 (\frac{x}{4} e^{4 x} - \frac{1}{16} e^{4 x}) + C$

خطوة 6.7.12.1.2

اجمع $\frac{x}{4}$ و $e^{4 x}$ .

$e^{4 x} v = - 4 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} e^{4 x}) + C$

خطوة 6.7.12.1.3

اجمع $e^{4 x}$ و $\frac{1}{16}$ .

$e^{4 x} v = - 4 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{4 x}}{16}) + C$

خطوة 6.7.12.2

طبّق خاصية التوزيع.

$e^{4 x} v = - 4 \frac{x e^{4 x}}{4} - 4 (- \frac{e^{4 x}}{16}) + C$

خطوة 6.7.12.3

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.7.12.3.1

أخرِج العامل $4$ من $- 4$ .

$e^{4 x} v = 4 (- 1) \frac{x e^{4 x}}{4} - 4 (- \frac{e^{4 x}}{16}) + C$

خطوة 6.7.12.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$e^{4 x} v = 4 \cdot - 1 \frac{x e^{4 x}}{4} - 4 (- \frac{e^{4 x}}{16}) + C$

خطوة 6.7.12.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$e^{4 x} v = - (x e^{4 x}) - 4 (- \frac{e^{4 x}}{16}) + C$

خطوة 6.7.12.4

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.7.12.4.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{e^{4 x}}{16}$ إلى بسط الكسر.

$e^{4 x} v = - (x e^{4 x}) - 4 \frac{- e^{4 x}}{16} + C$

خطوة 6.7.12.4.2

أخرِج العامل $4$ من $- 4$ .

$e^{4 x} v = - (x e^{4 x}) + 4 (- 1) \frac{- e^{4 x}}{16} + C$

خطوة 6.7.12.4.3

أخرِج العامل $4$ من $16$ .

$e^{4 x} v = - (x e^{4 x}) + 4 \cdot - 1 \frac{- e^{4 x}}{4 \cdot 4} + C$

خطوة 6.7.12.4.4

ألغِ العامل المشترك.

$e^{4 x} v = - (x e^{4 x}) + 4 \cdot - 1 \frac{- e^{4 x}}{4 \cdot 4} + C$

خطوة 6.7.12.4.5

أعِد كتابة العبارة.

$e^{4 x} v = - (x e^{4 x}) - \frac{- e^{4 x}}{4} + C$

خطوة 6.7.12.5

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.7.12.5.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$e^{4 x} v = - x e^{4 x} - - \frac{e^{4 x}}{4} + C$

خطوة 6.7.12.5.2

اضرب $- - \frac{e^{4 x}}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.7.12.5.2.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$e^{4 x} v = - x e^{4 x} + 1 \frac{e^{4 x}}{4} + C$

خطوة 6.7.12.5.2.2

اضرب $\frac{e^{4 x}}{4}$ في $1$ .

$e^{4 x} v = - x e^{4 x} + \frac{e^{4 x}}{4} + C$

خطوة 6.7.12.6

لكتابة $- x e^{4 x}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$e^{4 x} v = - x e^{4 x} \cdot \frac{4}{4} + \frac{e^{4 x}}{4} + C$

خطوة 6.7.12.7

اجمع $- x e^{4 x}$ و $\frac{4}{4}$ .

$e^{4 x} v = \frac{- x e^{4 x} \cdot 4}{4} + \frac{e^{4 x}}{4} + C$

خطوة 6.7.12.8

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$e^{4 x} v = \frac{- x e^{4 x} \cdot 4 + e^{4 x}}{4} + C$

خطوة 6.7.12.9

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.7.12.9.1

أخرِج العامل $e^{4 x}$ من $- x e^{4 x} \cdot 4 + e^{4 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.7.12.9.1.1

أخرِج العامل $e^{4 x}$ من $- x e^{4 x} \cdot 4$ .

$e^{4 x} v = \frac{e^{4 x} (- x \cdot 4) + e^{4 x}}{4} + C$

خطوة 6.7.12.9.1.2

اضرب في $1$ .

$e^{4 x} v = \frac{e^{4 x} (- x \cdot 4) + e^{4 x} \cdot 1}{4} + C$

خطوة 6.7.12.9.1.3

أخرِج العامل $e^{4 x}$ من $e^{4 x} (- x \cdot 4) + e^{4 x} \cdot 1$ .

$e^{4 x} v = \frac{e^{4 x} (- x \cdot 4 + 1)}{4} + C$

خطوة 6.7.12.9.2

اضرب $4$ في $- 1$ .

$e^{4 x} v = \frac{e^{4 x} (- 4 x + 1)}{4} + C$

خطوة 6.7.12.10

أخرِج العامل $- 1$ من $- 4 x$ .

$e^{4 x} v = \frac{e^{4 x} (- (4 x) + 1)}{4} + C$

خطوة 6.7.12.11

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $- 1 (- 1)$ .

$e^{4 x} v = \frac{e^{4 x} (- (4 x) - 1 (- 1))}{4} + C$

خطوة 6.7.12.12

أخرِج العامل $- 1$ من $- (4 x) - 1 (- 1)$ .

$e^{4 x} v = \frac{e^{4 x} (- (4 x - 1))}{4} + C$

خطوة 6.7.12.13

أعِد كتابة $- (4 x - 1)$ بالصيغة $- 1 (4 x - 1)$ .

$e^{4 x} v = \frac{e^{4 x} (- 1 (4 x - 1))}{4} + C$

خطوة 6.7.12.14

انقُل السالب أمام الكسر.

$e^{4 x} v = - \frac{e^{4 x} (4 x - 1)}{4} + C$

خطوة 6.7.13

احذِف الأقواس.

$e^{4 x} v = - \frac{1}{4} e^{4 x} (4 x - 1) + C$

خطوة 6.8

أوجِد قيمة $v$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.8.1

اجمع $e^{4 x}$ و $\frac{1}{4}$ .

$e^{4 x} v = - \frac{e^{4 x}}{4} \cdot (4 x - 1) + C$

خطوة 6.8.2

اقسِم كل حد في $e^{4 x} v = - \frac{e^{4 x}}{4} \cdot (4 x - 1) + C$ على $e^{4 x}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.8.2.1

اقسِم كل حد في $e^{4 x} v = - \frac{e^{4 x}}{4} \cdot (4 x - 1) + C$ على $e^{4 x}$ .

$\frac{e^{4 x} v}{e^{4 x}} = \frac{- \frac{e^{4 x}}{4} \cdot (4 x - 1)}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

خطوة 6.8.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.8.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{4 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.8.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{e^{4 x} v}{e^{4 x}} = \frac{- \frac{e^{4 x}}{4} \cdot (4 x - 1)}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

خطوة 6.8.2.2.1.2

اقسِم $v$ على $1$ .

$v = \frac{- \frac{e^{4 x}}{4} \cdot (4 x - 1)}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

خطوة 6.8.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.8.2.3.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$v = \frac{- \frac{e^{4 x}}{4} \cdot (4 x - 1) + C}{e^{4 x}}$

خطوة 6.8.2.3.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.8.2.3.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$v = \frac{- \frac{e^{4 x}}{4} (4 x) - \frac{e^{4 x}}{4} \cdot - 1 + C}{e^{4 x}}$

خطوة 6.8.2.3.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.8.2.3.2.2.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{e^{4 x}}{4}$ إلى بسط الكسر.

$v = \frac{\frac{- e^{4 x}}{4} (4 x) - \frac{e^{4 x}}{4} \cdot - 1 + C}{e^{4 x}}$

خطوة 6.8.2.3.2.2.2

أخرِج العامل $4$ من $4 x$ .

$v = \frac{\frac{- e^{4 x}}{4} (4 (x)) - \frac{e^{4 x}}{4} \cdot - 1 + C}{e^{4 x}}$

خطوة 6.8.2.3.2.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$v = \frac{\frac{- e^{4 x}}{4} (4 x) - \frac{e^{4 x}}{4} \cdot - 1 + C}{e^{4 x}}$

خطوة 6.8.2.3.2.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$v = \frac{- e^{4 x} x - \frac{e^{4 x}}{4} \cdot - 1 + C}{e^{4 x}}$

خطوة 6.8.2.3.2.3

اضرب $- \frac{e^{4 x}}{4} \cdot - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.8.2.3.2.3.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$v = \frac{- e^{4 x} x + 1 \frac{e^{4 x}}{4} + C}{e^{4 x}}$

خطوة 6.8.2.3.2.3.2

اضرب $\frac{e^{4 x}}{4}$ في $1$ .

$v = \frac{- e^{4 x} x + \frac{e^{4 x}}{4} + C}{e^{4 x}}$

خطوة 6.8.2.3.2.4

جمّع $- e^{4 x} x$ و $\frac{e^{4 x}}{4}$ باستخدام قاسم مشترك.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.8.2.3.2.4.1

انقُل $e^{4 x}$ .

$v = \frac{- 1 x e^{4 x} + \frac{e^{4 x}}{4} + C}{e^{4 x}}$

خطوة 6.8.2.3.2.4.2

لكتابة $- 1 x e^{4 x}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$v = \frac{- 1 x e^{4 x} \cdot \frac{4}{4} + \frac{e^{4 x}}{4} + C}{e^{4 x}}$

خطوة 6.8.2.3.2.4.3

اجمع $- 1 x e^{4 x}$ و $\frac{4}{4}$ .

$v = \frac{\frac{- 1 x e^{4 x} \cdot 4}{4} + \frac{e^{4 x}}{4} + C}{e^{4 x}}$

خطوة 6.8.2.3.2.4.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$v = \frac{\frac{- 1 x e^{4 x} \cdot 4 + e^{4 x}}{4} + C}{e^{4 x}}$

خطوة 6.8.2.3.2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.8.2.3.2.5.1

أخرِج العامل $e^{4 x}$ من $- 1 x e^{4 x} \cdot 4 + e^{4 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.8.2.3.2.5.1.1

أخرِج العامل $e^{4 x}$ من $- 1 x e^{4 x} \cdot 4$ .

$v = \frac{\frac{e^{4 x} (- 1 x \cdot 4) + e^{4 x}}{4} + C}{e^{4 x}}$

خطوة 6.8.2.3.2.5.1.2

اضرب في $1$ .

$v = \frac{\frac{e^{4 x} (- 1 x \cdot 4) + e^{4 x} \cdot 1}{4} + C}{e^{4 x}}$

خطوة 6.8.2.3.2.5.1.3

أخرِج العامل $e^{4 x}$ من $e^{4 x} (- 1 x \cdot 4) + e^{4 x} \cdot 1$ .

$v = \frac{\frac{e^{4 x} (- 1 x \cdot 4 + 1)}{4} + C}{e^{4 x}}$

خطوة 6.8.2.3.2.5.2

أعِد كتابة $- 1 x$ بالصيغة $- x$ .

$v = \frac{\frac{e^{4 x} (- x \cdot 4 + 1)}{4} + C}{e^{4 x}}$

خطوة 6.8.2.3.2.5.3

اضرب $4$ في $- 1$ .

$v = \frac{\frac{e^{4 x} (- 4 x + 1)}{4} + C}{e^{4 x}}$

خطوة 6.8.2.3.3

لكتابة $C$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$v = \frac{\frac{e^{4 x} (- 4 x + 1)}{4} + C \cdot \frac{4}{4}}{e^{4 x}}$

خطوة 6.8.2.3.4

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.8.2.3.4.1

اجمع $C$ و $\frac{4}{4}$ .

$v = \frac{\frac{e^{4 x} (- 4 x + 1)}{4} + \frac{C \cdot 4}{4}}{e^{4 x}}$

خطوة 6.8.2.3.4.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$v = \frac{\frac{e^{4 x} (- 4 x + 1) + C \cdot 4}{4}}{e^{4 x}}$

خطوة 6.8.2.3.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.8.2.3.5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$v = \frac{\frac{e^{4 x} (- 4 x) + e^{4 x} \cdot 1 + C \cdot 4}{4}}{e^{4 x}}$

خطوة 6.8.2.3.5.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$v = \frac{\frac{- 4 e^{4 x} x + e^{4 x} \cdot 1 + C \cdot 4}{4}}{e^{4 x}}$

خطوة 6.8.2.3.5.3

اضرب $e^{4 x}$ في $1$ .

$v = \frac{\frac{- 4 e^{4 x} x + e^{4 x} + C \cdot 4}{4}}{e^{4 x}}$

خطوة 6.8.2.3.5.4

انقُل $4$ إلى يسار $C$ .

$v = \frac{\frac{- 4 e^{4 x} x + e^{4 x} + 4 C}{4}}{e^{4 x}}$

خطوة 6.8.2.3.6

بسّط بالتحليل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.8.2.3.6.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- 4 e^{4 x} x$ .

$v = \frac{\frac{- (4 e^{4 x} x) + e^{4 x} + 4 C}{4}}{e^{4 x}}$

خطوة 6.8.2.3.6.2

أخرِج العامل $- 1$ من $e^{4 x}$ .

$v = \frac{\frac{- (4 e^{4 x} x) - 1 (- e^{4 x}) + 4 C}{4}}{e^{4 x}}$

خطوة 6.8.2.3.6.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- (4 e^{4 x} x) - 1 (- e^{4 x})$ .

$v = \frac{\frac{- (4 e^{4 x} x - e^{4 x}) + 4 C}{4}}{e^{4 x}}$

خطوة 6.8.2.3.6.4

أخرِج العامل $- 1$ من $4 C$ .

$v = \frac{\frac{- (4 e^{4 x} x - e^{4 x}) - (- 4 C)}{4}}{e^{4 x}}$

خطوة 6.8.2.3.6.5

أخرِج العامل $- 1$ من $- (4 e^{4 x} x - e^{4 x}) - (- 4 C)$ .

$v = \frac{\frac{- (4 e^{4 x} x - e^{4 x} - 4 C)}{4}}{e^{4 x}}$

خطوة 6.8.2.3.6.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.8.2.3.6.6.1

أعِد كتابة $- (4 e^{4 x} x - e^{4 x} - 4 C)$ بالصيغة $- 1 (4 e^{4 x} x - e^{4 x} - 4 C)$ .

$v = \frac{\frac{- 1 (4 e^{4 x} x - e^{4 x} - 4 C)}{4}}{e^{4 x}}$

خطوة 6.8.2.3.6.6.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$v = \frac{- \frac{4 e^{4 x} x - e^{4 x} - 4 C}{4}}{e^{4 x}}$

خطوة 6.8.2.3.6.6.3

أعِد ترتيب العوامل في $- \frac{4 e^{4 x} x - e^{4 x} - 4 C}{4}$ .

$v = \frac{- \frac{4 x e^{4 x} - e^{4 x} - 4 C}{4}}{e^{4 x}}$

خطوة 6.8.2.3.7

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$v = - \frac{4 x e^{4 x} - e^{4 x} - 4 C}{4} \cdot \frac{1}{e^{4 x}}$

خطوة 6.8.2.3.8

اضرب $\frac{1}{e^{4 x}}$ في $\frac{4 x e^{4 x} - e^{4 x} - 4 C}{4}$ .

$v = - \frac{4 x e^{4 x} - e^{4 x} - 4 C}{e^{4 x} \cdot 4}$

خطوة 6.8.2.3.9

انقُل $4$ إلى يسار $e^{4 x}$ .

$v = - \frac{4 x e^{4 x} - e^{4 x} - 4 C}{4 e^{4 x}}$

خطوة 7

عوّض بقيمة $v$ التي تساوي $y^{- 4}$ .

$y^{- 4} = - \frac{4 x e^{4 x} - e^{4 x} - 4 C}{4 e^{4 x}}$