حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{1}{x^{2}}$

خطوة 1

أوجِد تكامل كلا الطرفين بالنسبة إلى $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

المشتق الأول يساوي تكامل المشتق الثاني بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{d y}{d x} = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

خطوة 1.2

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

انقُل $x^{2}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\frac{d y}{d x} = \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

خطوة 1.2.2

اضرب الأُسس في ${(x^{2})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d y}{d x} = \int x^{2 \cdot - 1} d x$

خطوة 1.2.2.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{d y}{d x} = \int x^{- 2} d x$

خطوة 1.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{- 2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $- x^{- 1}$ .

$\frac{d y}{d x} = - x^{- 1} + C_{1}$

خطوة 1.4

أعِد كتابة $- x^{- 1} + C_{1}$ بالصيغة $- \frac{1}{x} + C_{1}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{x} + C_{1}$

خطوة 2

أعِد كتابة المعادلة.

$d y = (- \frac{1}{x} + C_{1}) d x$

خطوة 3

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d y = \int - \frac{1}{x} + C_{1} d x$

خطوة 3.2

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{2} = \int - \frac{1}{x} + C_{1} d x$

خطوة 3.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$y + C_{2} = \int - \frac{1}{x} d x + \int C_{1} d x$

خطوة 3.3.2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$y + C_{2} = - \int \frac{1}{x} d x + \int C_{1} d x$

خطوة 3.3.3

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$y + C_{2} = - (\ln (| x |) + C_{3}) + \int C_{1} d x$

خطوة 3.3.4

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{2} = - (\ln (| x |) + C_{3}) + C_{1} x + C_{4}$

خطوة 3.3.5

بسّط.

$y + C_{2} = - \ln (| x |) + C_{1} x + C_{5}$

خطوة 3.3.6

أعِد ترتيب الحدود.

$y + C_{2} = C_{1} x - \ln (| x |) + C_{5}$

خطوة 3.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $D$ .

$y = C x - \ln (| x |) + D$