حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d z}{d x} = \frac{z + 4}{2 z - 1} + 1$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{\frac{z + 4}{2 z - 1} + 1}$ .

$\frac{1}{\frac{z + 4}{2 z - 1} + 1} \frac{d z}{d x} = \frac{1}{\frac{z + 4}{2 z - 1} + 1} (\frac{z + 4}{2 z - 1} + 1)$

خطوة 1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $\frac{z + 4}{2 z - 1} + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{\frac{z + 4}{2 z - 1} + 1} \frac{d z}{d x} = \frac{1}{\frac{z + 4}{2 z - 1} + 1} (\frac{z + 4}{2 z - 1} + 1)$

خطوة 1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{\frac{z + 4}{2 z - 1} + 1} \frac{d z}{d x} = 1$

خطوة 1.3

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{\frac{z + 4}{2 z - 1} + 1} d z = 1 d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{\frac{z + 4}{2 z - 1} + 1} d z = \int d x$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\int \frac{1}{\frac{z + 4}{2 z - 1} + \frac{2 z - 1}{2 z - 1}} d z = \int d x$

خطوة 2.2.1.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\int \frac{1}{\frac{z + 4 + 2 z - 1}{2 z - 1}} d z = \int d x$

خطوة 2.2.1.3

أضف $z$ و $2 z$ .

$\int \frac{1}{\frac{3 z + 4 - 1}{2 z - 1}} d z = \int d x$

خطوة 2.2.1.4

اطرح $1$ من $4$ .

$\int \frac{1}{\frac{3 z + 3}{2 z - 1}} d z = \int d x$

خطوة 2.2.1.5

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{3 z + 3}{2 z - 1}$ .

$\int 1 \frac{2 z - 1}{3 z + 3} d z = \int d x$

خطوة 2.2.1.6

اضرب $\frac{2 z - 1}{3 z + 3}$ في $1$ .

$\int \frac{2 z - 1}{3 z + 3} d z = \int d x$

خطوة 2.2.2

اقسِم $2 z - 1$ على $3 z + 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$3 z$

$3$

$2 z$

$1$

خطوة 2.2.2.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $2 z$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $3 z$ .

					$\frac{2}{3}$
	$3 z$	+	$3$		$2 z$	-	$1$

خطوة 2.2.2.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$\frac{2}{3}$
$3 z$	+	$3$		$2 z$	-	$1$
			+	$2 z$	+	$2$

خطوة 2.2.2.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $2 z + 2$

				$\frac{2}{3}$
$3 z$	+	$3$		$2 z$	-	$1$
			-	$2 z$	-	$2$

خطوة 2.2.2.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$\frac{2}{3}$
$3 z$	+	$3$		$2 z$	-	$1$
			-	$2 z$	-	$2$
					-	$3$

خطوة 2.2.2.6

الإجابة النهائية هي ناتج القسمة زائد الباقي على المقسوم عليه.

$\int \frac{2}{3} - \frac{3}{3 z + 3} d z = \int d x$

خطوة 2.2.3

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int \frac{2}{3} d z + \int - \frac{3}{3 z + 3} d z = \int d x$

خطوة 2.2.4

احذِف العامل المشترك لـ $3$ و $3 z + 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$\int \frac{2}{3} d z + \int - \frac{3 \cdot 1}{3 z + 3} d z = \int d x$

خطوة 2.2.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3 z$ .

$\int \frac{2}{3} d z + \int - \frac{3 \cdot 1}{3 (z) + 3} d z = \int d x$

خطوة 2.2.4.2.2

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$\int \frac{2}{3} d z + \int - \frac{3 \cdot 1}{3 (z) + 3 (1)} d z = \int d x$

خطوة 2.2.4.2.3

أخرِج العامل $3$ من $3 (z) + 3 (1)$ .

$\int \frac{2}{3} d z + \int - \frac{3 \cdot 1}{3 (z + 1)} d z = \int d x$

خطوة 2.2.4.2.4

ألغِ العامل المشترك.

$\int \frac{2}{3} d z + \int - \frac{3 \cdot 1}{3 (z + 1)} d z = \int d x$

خطوة 2.2.4.2.5

أعِد كتابة العبارة.

$\int \frac{2}{3} d z + \int - \frac{1}{z + 1} d z = \int d x$

خطوة 2.2.5

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{2}{3} z + C_{1} + \int - \frac{1}{z + 1} d z = \int d x$

خطوة 2.2.6

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $z$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\frac{2}{3} z + C_{1} - \int \frac{1}{z + 1} d z = \int d x$

خطوة 2.2.7

لنفترض أن $u = z + 1$ . إذن $d u = d z$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.7.1

افترض أن $u = z + 1$ . أوجِد $\frac{d u}{d z}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.7.1.1

أوجِد مشتقة $z + 1$ .

$\frac{d}{d z} [z + 1]$

خطوة 2.2.7.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $z + 1$ بالنسبة إلى $z$ هو $\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [1]$ .

$\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [1]$

خطوة 2.2.7.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ هو $n z^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d z} [1]$

خطوة 2.2.7.1.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $z$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $z$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 2.2.7.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 2.2.7.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\frac{2}{3} z + C_{1} - \int \frac{1}{u} d u = \int d x$

خطوة 2.2.8

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$\frac{2}{3} z + C_{1} - (\ln (| u |) + C_{2}) = \int d x$

خطوة 2.2.9

بسّط.

$\frac{2}{3} z - \ln (| u |) + C_{3} = \int d x$

خطوة 2.2.10

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $z + 1$ .

$\frac{2}{3} z - \ln (| z + 1 |) + C_{3} = \int d x$

خطوة 2.3

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{2}{3} z - \ln (| z + 1 |) + C_{3} = x + C_{4}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\frac{2}{3} z - \ln (| z + 1 |) = x + C$