حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

solve the differential equation of $\frac{d y}{d x} = \frac{2}{x^{2} + 4}$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة.

$d y = \frac{2}{x^{2} + 4} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d y = \int \frac{2}{x^{2} + 4} d x$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{1} = \int \frac{2}{x^{2} + 4} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = 2 \int \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

خطوة 2.3.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

أعِد ترتيب $x^{2}$ و $4$ .

$y + C_{1} = 2 \int \frac{1}{4 + x^{2}} d x$

خطوة 2.3.2.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$y + C_{1} = 2 \int \frac{1}{2^{2} + x^{2}} d x$

خطوة 2.3.3

تكامل $\frac{1}{2^{2} + x^{2}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} \arctan (\frac{x}{2}) + C_{2}$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} \arctan (\frac{x}{2}) + C_{2})$

خطوة 2.3.4

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.4.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\arctan (\frac{x}{2})$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{\arctan (\frac{x}{2})}{2} + C_{2})$

خطوة 2.3.4.2

أعِد كتابة $2 (\frac{\arctan (\frac{x}{2})}{2} + C_{2})$ بالصيغة $2 (\frac{1}{2}) \arctan (\frac{1}{2} x) + C_{2}$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{2}) \arctan (\frac{1}{2} x) + C_{2}$

خطوة 2.3.4.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.4.3.1

اجمع $2$ و $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{2} \arctan (\frac{1}{2} x) + C_{2}$

خطوة 2.3.4.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.4.3.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$y + C_{1} = \frac{2}{2} \arctan (\frac{1}{2} x) + C_{2}$

خطوة 2.3.4.3.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y + C_{1} = 1 \arctan (\frac{1}{2} x) + C_{2}$

خطوة 2.3.4.3.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x$ .

$y + C_{1} = 1 \arctan (\frac{x}{2}) + C_{2}$

خطوة 2.3.4.3.4

اضرب $\arctan (\frac{x}{2})$ في $1$ .

$y + C_{1} = \arctan (\frac{x}{2}) + C_{2}$

خطوة 2.3.4.4

أعِد ترتيب الحدود.

$y + C_{1} = \arctan (\frac{1}{2} x) + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$y = \arctan (\frac{1}{2} x) + K$