حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x^{2} d x + y (x - 1) d y = 0$

خطوة 1

اطرح $x^{2} d x$ من كلا المتعادلين.

$y (x - 1) d y = - x^{2} d x$

خطوة 2

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{x - 1}$ .

$\frac{1}{x - 1} (y (x - 1)) d y = \frac{1}{x - 1} (- x^{2}) d x$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أخرِج العامل $x - 1$ من $y (x - 1)$ .

$\frac{1}{x - 1} ((x - 1) y) d y = \frac{1}{x - 1} (- x^{2}) d x$

خطوة 3.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{x - 1} ((x - 1) y) d y = \frac{1}{x - 1} (- x^{2}) d x$

خطوة 3.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$y d y = \frac{1}{x - 1} (- x^{2}) d x$

خطوة 3.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$y d y = - \frac{1}{x - 1} x^{2} d x$

خطوة 3.3

اجمع $x^{2}$ و $\frac{1}{x - 1}$ .

$y d y = - \frac{x^{2}}{x - 1} d x$

خطوة 4

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int y d y = \int - \frac{x^{2}}{x - 1} d x$

خطوة 4.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - \frac{x^{2}}{x - 1} d x$

خطوة 4.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int \frac{x^{2}}{x - 1} d x$

خطوة 4.3.2

اقسِم $x^{2}$ على $x - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

خطوة 4.3.2.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $x^{2}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

					$x$
	$x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$

خطوة 4.3.2.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$x$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	-	$x$

خطوة 4.3.2.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $x^{2} - x$

				$x$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$x$

خطوة 4.3.2.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$x$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x$

خطوة 4.3.2.6

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

				$x$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x$	+	$0$

خطوة 4.3.2.7

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $x$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

				$x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x$	+	$0$

خطوة 4.3.2.8

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x$	+	$0$
					+	$x$	-	$1$

خطوة 4.3.2.9

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $x - 1$

				$x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x$	+	$0$
					-	$x$	+	$1$

خطوة 4.3.2.10

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x$	+	$0$
					-	$x$	+	$1$
							+	$1$

خطوة 4.3.2.11

الإجابة النهائية هي ناتج القسمة زائد الباقي على المقسوم عليه.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int x + 1 + \frac{1}{x - 1} d x$

خطوة 4.3.3

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\int x d x + \int d x + \int \frac{1}{x - 1} d x)$

خطوة 4.3.4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \int d x + \int \frac{1}{x - 1} d x)$

خطوة 4.3.5

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + x + C_{3} + \int \frac{1}{x - 1} d x)$

خطوة 4.3.6

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2} + x + C_{3} + \int \frac{1}{x - 1} d x)$

خطوة 4.3.7

لنفترض أن $u = x - 1$ . إذن $d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.7.1

افترض أن $u = x - 1$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.7.1.1

أوجِد مشتقة $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

خطوة 4.3.7.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 4.3.7.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 4.3.7.1.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 4.3.7.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 4.3.7.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2} + x + C_{3} + \int \frac{1}{u} d u)$

خطوة 4.3.8

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2} + x + C_{3} + \ln (| u |) + C_{4})$

خطوة 4.3.9

بسّط.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + x + \ln (| u |)) + C_{5}$

خطوة 4.3.10

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x - 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + x + \ln (| x - 1 |)) + C_{5}$

خطوة 4.3.11

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.11.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\frac{x^{2}}{2} + x + \ln (| x - 1 |)) + C_{5}$

خطوة 4.3.11.2

لكتابة $\ln (| x - 1 |)$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (x + \frac{x^{2}}{2} + \ln (| x - 1 |) \cdot \frac{2}{2}) + C_{5}$

خطوة 4.3.11.3

اجمع $\ln (| x - 1 |)$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (x + \frac{x^{2}}{2} + \frac{\ln (| x - 1 |) \cdot 2}{2}) + C_{5}$

خطوة 4.3.11.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (x + \frac{x^{2} + \ln (| x - 1 |) \cdot 2}{2}) + C_{5}$

خطوة 4.3.11.5

انقُل $2$ إلى يسار $\ln (| x - 1 |)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (x + \frac{x^{2} + 2 \ln (| x - 1 |)}{2}) + C_{5}$

خطوة 4.3.11.6

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - x - \frac{x^{2} + 2 \ln (| x - 1 |)}{2} + C_{5}$

خطوة 4.3.12

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - x - \frac{1}{2} (x^{2} + 2 \ln (| x - 1 |)) + C_{5}$

خطوة 4.3.13

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2} (x^{2} + 2 \ln (| x - 1 |)) - x + C_{5}$

خطوة 4.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = - \frac{1}{2} (x^{2} + 2 \ln (| x - 1 |)) - x + C$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اضرب كلا المتعادلين في $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- \frac{1}{2} (x^{2} + 2 \ln (| x - 1 |)) - x + C)$

خطوة 5.2

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

بسّط $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{2} (x^{2} + 2 \ln (| x - 1 |)) - x + C)$

خطوة 5.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{2} (x^{2} + 2 \ln (| x - 1 |)) - x + C)$

خطوة 5.2.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y^{2} = 2 (- \frac{1}{2} (x^{2} + 2 \ln (| x - 1 |)) - x + C)$

خطوة 5.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

بسّط $2 (- \frac{1}{2} (x^{2} + 2 \ln (| x - 1 |)) - x + C)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y^{2} = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2} (2 \ln (| x - 1 |)) - x + C)$

خطوة 5.2.2.1.1.2

اجمع $x^{2}$ و $\frac{1}{2}$ .

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (2 \ln (| x - 1 |)) - x + C)$

خطوة 5.2.2.1.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1.1.3.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{2}$ إلى بسط الكسر.

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 1}{2} (2 \ln (| x - 1 |)) - x + C)$

خطوة 5.2.2.1.1.3.2

أخرِج العامل $2$ من $2 \ln (| x - 1 |)$ .

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 1}{2} (2 (\ln (| x - 1 |))) - x + C)$

خطوة 5.2.2.1.1.3.3

ألغِ العامل المشترك.

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 1}{2} (2 \ln (| x - 1 |)) - x + C)$

خطوة 5.2.2.1.1.3.4

أعِد كتابة العبارة.

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{2}}{2} - 1 \ln (| x - 1 |) - x + C)$

خطوة 5.2.2.1.1.4

أعِد كتابة $- 1 \ln (| x - 1 |)$ بالصيغة $- \ln (| x - 1 |)$ .

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{2}}{2} - \ln (| x - 1 |) - x + C)$

خطوة 5.2.2.1.1.5

لكتابة $- \ln (| x - 1 |)$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{2}}{2} - \ln (| x - 1 |) \cdot \frac{2}{2} - x + C)$

خطوة 5.2.2.1.1.6

اجمع $- \ln (| x - 1 |)$ و $\frac{2}{2}$ .

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{2}}{2} + \frac{- \ln (| x - 1 |) \cdot 2}{2} - x + C)$

خطوة 5.2.2.1.1.7

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y^{2} = 2 (\frac{- x^{2} - \ln (| x - 1 |) \cdot 2}{2} - x + C)$

خطوة 5.2.2.1.1.8

اضرب $2$ في $- 1$ .

$y^{2} = 2 (\frac{- x^{2} - 2 \ln (| x - 1 |)}{2} - x + C)$

خطوة 5.2.2.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$y^{2} = 2 \frac{- x^{2} - 2 \ln (| x - 1 |)}{2} + 2 (- x) + 2 C$

خطوة 5.2.2.1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1.3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$y^{2} = 2 \frac{- x^{2} - 2 \ln (| x - 1 |)}{2} + 2 (- x) + 2 C$

خطوة 5.2.2.1.3.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$y^{2} = - x^{2} - 2 \ln (| x - 1 |) + 2 (- x) + 2 C$

خطوة 5.2.2.1.3.2

اضرب $- 1$ في $2$ .

$y^{2} = - x^{2} - 2 \ln (| x - 1 |) - 2 x + 2 C$

خطوة 5.3

بسّط $- 2 \ln (| x - 1 |)$ بنقل $2$ داخل اللوغاريتم.

$y^{2} = - x^{2} - \ln ({| x - 1 |}^{2}) - 2 x + 2 C$

خطوة 5.4

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$y = \pm \sqrt{- x^{2} - \ln ({| x - 1 |}^{2}) - 2 x + 2 C}$

خطوة 5.5

بسّط $\pm \sqrt{- x^{2} - \ln ({| x - 1 |}^{2}) - 2 x + 2 C}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

احذِف القيمة المطلقة في ${| x - 1 |}^{2}$ لأن الأُسس ذات القوى الزوجية دائمًا ما تكون موجبة.

$y = \pm \sqrt{- x^{2} - \ln ({(x - 1)}^{2}) - 2 x + 2 C}$

خطوة 5.5.2

أعِد كتابة $- x^{2} - \ln ({(x - 1)}^{2}) - 2 x + 2 C$ بصيغة محلّلة إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.1

أعِد تجميع الحدود.

$y = \pm \sqrt{- \ln ({(x - 1)}^{2}) - x^{2} - 2 x + 2 C}$

خطوة 5.5.2.2

أخرِج العامل $- 1$ من $- x^{2} - 2 x + 2 C$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.2.1

انقُل $- 2 x$ .

$y = \pm \sqrt{- \ln ({(x - 1)}^{2}) - x^{2} + 2 C - 2 x}$

خطوة 5.5.2.2.2

أخرِج العامل $- 1$ من $- x^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- \ln ({(x - 1)}^{2}) - (x^{2}) + 2 C - 2 x}$

خطوة 5.5.2.2.3

أخرِج العامل $- 1$ من $2 C$ .

$y = \pm \sqrt{- \ln ({(x - 1)}^{2}) - (x^{2}) - (- 2 C) - 2 x}$

خطوة 5.5.2.2.4

أخرِج العامل $- 1$ من $- 2 x$ .

$y = \pm \sqrt{- \ln ({(x - 1)}^{2}) - (x^{2}) - (- 2 C) - (2 x)}$

خطوة 5.5.2.2.5

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x^{2}) - (- 2 C)$ .

$y = \pm \sqrt{- \ln ({(x - 1)}^{2}) - (x^{2} - 2 C) - (2 x)}$

خطوة 5.5.2.2.6

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x^{2} - 2 C) - (2 x)$ .

$y = \pm \sqrt{- \ln ({(x - 1)}^{2}) - (x^{2} - 2 C + 2 x)}$

خطوة 5.5.2.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- \ln ({(x - 1)}^{2}) - (x^{2} - 2 C + 2 x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.3.1

أعِد ترتيب $- \ln ({(x - 1)}^{2})$ و $- (x^{2} - 2 C + 2 x)$ .

$y = \pm \sqrt{- (x^{2} - 2 C + 2 x) - \ln ({(x - 1)}^{2})}$

خطوة 5.5.2.3.2

أخرِج العامل $- 1$ من $- \ln ({(x - 1)}^{2})$ .

$y = \pm \sqrt{- (x^{2} - 2 C + 2 x) - (\ln ({(x - 1)}^{2}))}$

خطوة 5.5.2.3.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x^{2} - 2 C + 2 x) - (\ln ({(x - 1)}^{2}))$ .

$y = \pm \sqrt{- (x^{2} - 2 C + 2 x + \ln ({(x - 1)}^{2}))}$

خطوة 5.6

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$y = \sqrt{- (x^{2} - 2 C + 2 x + \ln ({(x - 1)}^{2}))}$

خطوة 5.6.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$y = - \sqrt{- (x^{2} - 2 C + 2 x + \ln ({(x - 1)}^{2}))}$

خطوة 5.6.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$y = \sqrt{- (x^{2} - 2 C + 2 x + \ln ({(x - 1)}^{2}))}$

$y = - \sqrt{- (x^{2} - 2 C + 2 x + \ln ({(x - 1)}^{2}))}$

$y = \sqrt{- (x^{2} - 2 C + 2 x + \ln ({(x - 1)}^{2}))}$

$y = - \sqrt{- (x^{2} - 2 C + 2 x + \ln ({(x - 1)}^{2}))}$

$y = \sqrt{- (x^{2} - 2 C + 2 x + \ln ({(x - 1)}^{2}))}$

$y = - \sqrt{- (x^{2} - 2 C + 2 x + \ln ({(x - 1)}^{2}))}$

خطوة 6

بسّط ثابت التكامل.

$y = \sqrt{- (x^{2} + C + 2 x + \ln ({(x - 1)}^{2}))}$

$y = - \sqrt{- (x^{2} + C + 2 x + \ln ({(x - 1)}^{2}))}$