حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$3 y - x \frac{d y}{d x} = 6$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد قيمة $\frac{d y}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

اطرح $3 y$ من كلا المتعادلين.

$- x \frac{d y}{d x} = 6 - 3 y$

خطوة 1.1.2

اقسِم كل حد في $- x \frac{d y}{d x} = 6 - 3 y$ على $- x$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

اقسِم كل حد في $- x \frac{d y}{d x} = 6 - 3 y$ على $- x$ .

$\frac{- x \frac{d y}{d x}}{- x} = \frac{6}{- x} + \frac{- 3 y}{- x}$

خطوة 1.1.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{6}{- x} + \frac{- 3 y}{- x}$

خطوة 1.1.2.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{6}{- x} + \frac{- 3 y}{- x}$

خطوة 1.1.2.2.2.2

اقسِم $\frac{d y}{d x}$ على $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{6}{- x} + \frac{- 3 y}{- x}$

خطوة 1.1.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.3.1.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{6}{x} + \frac{- 3 y}{- x}$

خطوة 1.1.2.3.1.2

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{6}{x} + \frac{3 y}{x}$

خطوة 1.2

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 6 + 3 y}{x}$

خطوة 1.2.2

أخرِج العامل $3$ من $- 6 + 3 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

أخرِج العامل $3$ من $- 6$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 \cdot - 2 + 3 y}{x}$

خطوة 1.2.2.2

أخرِج العامل $3$ من $3 \cdot - 2 + 3 y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 \cdot (- 2 + y)}{x}$

خطوة 1.2.2.3

اضرب $3$ في $- 2 + y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 (- 2 + y)}{x}$

خطوة 1.3

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{- 2 + y}$ .

$\frac{1}{- 2 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{- 2 + y} \cdot \frac{3 (- 2 + y)}{x}$

خطوة 1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $- 2 + y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

أخرِج العامل $- 2 + y$ من $3 (- 2 + y)$ .

$\frac{1}{- 2 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{- 2 + y} \cdot \frac{(- 2 + y) \cdot 3}{x}$

خطوة 1.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{- 2 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{- 2 + y} \cdot \frac{(- 2 + y) \cdot 3}{x}$

خطوة 1.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{- 2 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{3}{x}$

خطوة 1.5

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{- 2 + y} d y = \frac{3}{x} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{- 2 + y} d y = \int \frac{3}{x} d x$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لنفترض أن $u = - 2 + y$ . إذن $d u = d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

افترض أن $u = - 2 + y$ . أوجِد $\frac{d u}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1.1

أوجِد مشتقة $- 2 + y$ .

$\frac{d}{d y} [- 2 + y]$

خطوة 2.2.1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- 2 + y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [- 2] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{d}{d y} [- 2] + \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 2.2.1.1.3

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $- 2$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 2.2.1.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$0 + 1$

خطوة 2.2.1.1.5

أضف $0$ و $1$ .

$1$

خطوة 2.2.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int \frac{3}{x} d x$

خطوة 2.2.2

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{3}{x} d x$

خطوة 2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- 2 + y$ .

$\ln (| - 2 + y |) + C_{1} = \int \frac{3}{x} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$\ln (| - 2 + y |) + C_{1} = 3 \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 2.3.2

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$\ln (| - 2 + y |) + C_{1} = 3 (\ln (| x |) + C_{2})$

خطوة 2.3.3

بسّط.

$\ln (| - 2 + y |) + C_{1} = 3 \ln (| x |) + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\ln (| - 2 + y |) = 3 \ln (| x |) + C$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على لوغاريتم إلى المتعادل الأيسر.

$\ln (| - 2 + y |) - 3 \ln (| x |) = C$

خطوة 3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط $\ln (| - 2 + y |) - 3 \ln (| x |)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

بسّط $- 3 \ln (| x |)$ بنقل $3$ داخل اللوغاريتم.

$\ln (| - 2 + y |) - \ln ({| x |}^{3}) = C$

خطوة 3.2.1.2

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| - 2 + y |}{{| x |}^{3}}) = C$

خطوة 3.3

لإيجاد قيمة $y$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (\frac{| - 2 + y |}{{| x |}^{3}})} = e^{C}$

خطوة 3.4

أعِد كتابة $\ln (\frac{| - 2 + y |}{{| x |}^{3}}) = C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| - 2 + y |}{{| x |}^{3}}$

خطوة 3.5

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\frac{| - 2 + y |}{{| x |}^{3}} = e^{C}$ .

$\frac{| - 2 + y |}{{| x |}^{3}} = e^{C}$

خطوة 3.5.2

اضرب كلا الطرفين في ${| x |}^{3}$ .

$\frac{| - 2 + y |}{{| x |}^{3}} {| x |}^{3} = e^{C} {| x |}^{3}$

خطوة 3.5.3

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ ${| x |}^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{| - 2 + y |}{{| x |}^{3}} {| x |}^{3} = e^{C} {| x |}^{3}$

خطوة 3.5.3.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$| - 2 + y | = e^{C} {| x |}^{3}$

خطوة 3.5.4

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.4.1

أعِد ترتيب العوامل في $e^{C} {| x |}^{3}$ .

$| - 2 + y | = {| x |}^{3} e^{C}$

خطوة 3.5.4.2

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$- 2 + y = \pm {| x |}^{3} e^{C}$

خطوة 3.5.4.3

أعِد ترتيب العوامل في $\pm {| x |}^{3} e^{C}$ .

$- 2 + y = \pm e^{C} {| x |}^{3}$

خطوة 3.5.4.4

أضف $2$ إلى كلا المتعادلين.

$y = \pm e^{C} {| x |}^{3} + 2$

خطوة 4

جمّع حدود الثابت معًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط ثابت التكامل.

$y = \pm C {| x |}^{3} + 2$

خطوة 4.2

اجمع الثوابت مع الزائد أو الناقص.

$y = C {| x |}^{3} + 2$