حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d t} = e^{t}$ , $y (0) = 0$ , $t = 1$ , $h = 0.1$

خطوة 1

عرّف $f (t, y)$ بحيث يكون $\frac{d y}{d t} = f (t, y)$ .

$f (t, y) = e^{t}$

خطوة 2

أوجِد $f (0, 0)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عوّض بـ $0$ عن $t$ وبـ $0$ عن $y$ .

$f (0, 0) = e^{0}$

خطوة 2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

استبدِل $e$ بقيمة تقريبية.

$f (0, 0) = {2.71828182}^{0}$

خطوة 2.2.2

ارفع $2.71828182$ إلى القوة $0$ .

$f (0, 0) = 1$

خطوة 3

استخدم القاعدة التكرارية $y_{1} = y_{0} + h f (t_{0}, y_{0})$ لإيجاد $y_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض.

$y_{1} = 0 + 0.1 \cdot 1$

خطوة 3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

اضرب $0.1$ في $1$ .

$y_{1} = 0 + 0.1$

خطوة 3.2.2

أضف $0$ و $0.1$ .

$y_{1} = 0.1$

خطوة 4

استخدم القاعدة التكرارية $t_{1} = t_{0} + h$ لإيجاد $t_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض.

$t_{1} = 0 + 0.1$

خطوة 4.2

أضف $0$ و $0.1$ .

$t_{1} = 0.1$

خطوة 5

أوجِد $f (0.1, 0.1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عوّض بـ $0.1$ عن $t$ وبـ $0.1$ عن $y$ .

$f (0.1, 0.1) = e^{0.1}$

خطوة 5.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

استبدِل $e$ بقيمة تقريبية.

$f (0.1, 0.1) = {2.71828182}^{0.1}$

خطوة 5.2.2

ارفع $2.71828182$ إلى القوة $0.1$ .

$f (0.1, 0.1) = 1.10517091$

خطوة 6

استخدم القاعدة التكرارية $y_{2} = y_{1} + h f (t_{1}, y_{1})$ لإيجاد $y_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

عوّض.

$y_{2} = 0.1 + 0.1 \cdot 1.10517091$

خطوة 6.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

اضرب $0.1$ في $1.10517091$ .

$y_{2} = 0.1 + 0.11051709$

خطوة 6.2.2

أضف $0.1$ و $0.11051709$ .

$y_{2} = 0.21051709$

خطوة 7

استخدم القاعدة التكرارية $t_{2} = t_{1} + h$ لإيجاد $t_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

عوّض.

$t_{2} = 0.1 + 0.1$

خطوة 7.2

أضف $0.1$ و $0.1$ .

$t_{2} = 0.2$

خطوة 8

استمر بنفس الطريقة حتى تُقرّب القيم المطلوبة.

خطوة 9

اسرِد التقريبات في جدول.

$\begin{array}{c} t_{n} & y_{n} \\ 0 & 0 \\ 0.1 & 0.1 \\ 0.2 & 0.21051709 \\ 0.3 & 0.33265736 \\ 0.4 & 0.46764324 \\ 0.5 & 0.61682571 \\ 0.6 & 0.78169784 \\ 0.7 & 0.96390972 \\ 0.8 & 1.16528499 \\ 0.9 & 1.38783908 \\ 1 & 1.63379939 \end{array}$