حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d t} = \sin (t)$ , $y (0) = 1$ , $t = 0.5$ , $h = 0.05$

خطوة 1

عرّف $f (t, y)$ بحيث يكون $\frac{d y}{d t} = f (t, y)$ .

$f (t, y) = \sin (t)$

خطوة 2

أوجِد $f (0, 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عوّض بـ $0$ عن $t$ وبـ $1$ عن $y$ .

$f (0, 1) = \sin (0)$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\sin (0)$ .

$f (0, 1) = 0$

خطوة 3

استخدم القاعدة التكرارية $y_{1} = y_{0} + h f (t_{0}, y_{0})$ لإيجاد $y_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض.

$y_{1} = 1 + 0.05 \cdot 0$

خطوة 3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

اضرب $0.05$ في $0$ .

$y_{1} = 1 + 0$

خطوة 3.2.2

أضف $1$ و $0$ .

$y_{1} = 1$

خطوة 4

استخدم القاعدة التكرارية $t_{1} = t_{0} + h$ لإيجاد $t_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض.

$t_{1} = 0 + 0.05$

خطوة 4.2

أضف $0$ و $0.05$ .

$t_{1} = 0.05$

خطوة 5

أوجِد $f (0.05, 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عوّض بـ $0.05$ عن $t$ وبـ $1$ عن $y$ .

$f (0.05, 1) = \sin (0.05)$

خطوة 5.2

احسِب قيمة $\sin (0.05)$ .

$f (0.05, 1) = 0.04997916$

خطوة 6

استخدم القاعدة التكرارية $y_{2} = y_{1} + h f (t_{1}, y_{1})$ لإيجاد $y_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

عوّض.

$y_{2} = 1 + 0.05 \cdot 0.04997916$

خطوة 6.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

اضرب $0.05$ في $0.04997916$ .

$y_{2} = 1 + 0.00249895$

خطوة 6.2.2

أضف $1$ و $0.00249895$ .

$y_{2} = 1.00249895$

خطوة 7

استخدم القاعدة التكرارية $t_{2} = t_{1} + h$ لإيجاد $t_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

عوّض.

$t_{2} = 0.05 + 0.05$

خطوة 7.2

أضف $0.05$ و $0.05$ .

$t_{2} = 0.1$

خطوة 8

استمر بنفس الطريقة حتى تُقرّب القيم المطلوبة.

خطوة 9

اسرِد التقريبات في جدول.

$\begin{array}{c} t_{n} & y_{n} \\ 0 & 1 \\ 0.05 & 1 \\ 0.1 & 1.00249895 \\ 0.15 & 1.00749062 \\ 0.2 & 1.01496253 \\ 0.25 & 1.024896 \\ 0.3 & 1.0372662 \\ 0.35 & 1.05204221 \\ 0.4 & 1.0691871 \\ 0.45 & 1.08865801 \\ 0.5 & 1.11040629 \end{array}$