حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = 4 x e^{- y}$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{e^{- y}}$ .

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- y}} (4 x e^{- y})$

خطوة 1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = 4 \frac{1}{e^{- y}} (x e^{- y})$

خطوة 1.2.2

اجمع $4$ و $\frac{1}{e^{- y}}$ .

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{4}{e^{- y}} (x e^{- y})$

خطوة 1.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{- y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

أخرِج العامل $e^{- y}$ من $x e^{- y}$ .

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{4}{e^{- y}} (e^{- y} x)$

خطوة 1.2.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{4}{e^{- y}} (e^{- y} x)$

خطوة 1.2.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = 4 x$

خطوة 1.3

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{e^{- y}} d y = 4 x d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{e^{- y}} d y = \int 4 x d x$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

اعكِس علامة أُس $e^{- y}$ وأخرِجها من القاسم.

$\int 1 {(e^{- y})}^{- 1} d y = \int 4 x d x$

خطوة 2.2.1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.2.1

اضرب الأُسس في ${(e^{- y})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.2.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 1 e^{- y \cdot - 1} d y = \int 4 x d x$

خطوة 2.2.1.2.1.2

اضرب $- y \cdot - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.2.1.2.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\int 1 e^{1 y} d y = \int 4 x d x$

خطوة 2.2.1.2.1.2.2

اضرب $y$ في $1$ .

$\int 1 e^{y} d y = \int 4 x d x$

خطوة 2.2.1.2.2

اضرب $e^{y}$ في $1$ .

$\int e^{y} d y = \int 4 x d x$

خطوة 2.2.2

تكامل $e^{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $e^{y}$ .

$e^{y} + C_{1} = \int 4 x d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $4$ خارج التكامل.

$e^{y} + C_{1} = 4 \int x d x$

خطوة 2.3.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{y} + C_{1} = 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

خطوة 2.3.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

أعِد كتابة $4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ بالصيغة $4 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ .

$e^{y} + C_{1} = 4 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

خطوة 2.3.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.2.1

اجمع $4$ و $\frac{1}{2}$ .

$e^{y} + C_{1} = \frac{4}{2} x^{2} + C_{2}$

خطوة 2.3.3.2.2

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$e^{y} + C_{1} = \frac{2 \cdot 2}{2} x^{2} + C_{2}$

خطوة 2.3.3.2.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.2.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$e^{y} + C_{1} = \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} x^{2} + C_{2}$

خطوة 2.3.3.2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$e^{y} + C_{1} = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{2}$

خطوة 2.3.3.2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$e^{y} + C_{1} = \frac{2}{1} x^{2} + C_{2}$

خطوة 2.3.3.2.2.2.4

اقسِم $2$ على $1$ .

$e^{y} + C_{1} = 2 x^{2} + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$e^{y} = 2 x^{2} + K$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا المتعادلين لحذف المتغير من الأُس.

$\ln (e^{y}) = \ln (2 x^{2} + K)$

خطوة 3.2

وسّع الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

وسّع $\ln (e^{y})$ بنقل $y$ خارج اللوغاريتم.

$y \ln (e) = \ln (2 x^{2} + K)$

خطوة 3.2.2

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$y \cdot 1 = \ln (2 x^{2} + K)$

خطوة 3.2.3

اضرب $y$ في $1$ .

$y = \ln (2 x^{2} + K)$