حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{2 + \sqrt{x} + x}{x} d x$

خطوة 1

قسّم الكسر إلى عدة كسور.

$\int \frac{2}{x} + \frac{\sqrt{x}}{x} + \frac{x}{x} d x$

خطوة 2

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int \frac{2}{x} d x + \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x + \int \frac{x}{x} d x$

خطوة 3

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\int \frac{2}{x} d x + \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x + \int \frac{x}{x} d x$

خطوة 3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\int \frac{2}{x} d x + \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x + \int d x$

خطوة 4

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$2 \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x + \int d x$

خطوة 5

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$2 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x + \int d x$

خطوة 6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x} d x + \int d x$

خطوة 6.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

انقُل $x^{\frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$2 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{1}{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}} d x + \int d x$

خطوة 6.2.2

اضرب $x$ في $x^{- \frac{1}{2}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

اضرب $x$ في $x^{- \frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$2 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{1}{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}} d x + \int d x$

خطوة 6.2.2.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$2 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{1}{x^{1 - \frac{1}{2}}} d x + \int d x$

خطوة 6.2.2.2

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$2 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{1}{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d x + \int d x$

خطوة 6.2.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$2 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{1}{x^{\frac{2 - 1}{2}}} d x + \int d x$

خطوة 6.2.2.4

اطرح $1$ من $2$ .

$2 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x + \int d x$

خطوة 6.3

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

انقُل $x^{\frac{1}{2}}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$2 (\ln (| x |) + C) + \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x + \int d x$

خطوة 6.3.2

اضرب الأُسس في ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (\ln (| x |) + C) + \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x + \int d x$

خطوة 6.3.2.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 1$ .

$2 (\ln (| x |) + C) + \int x^{\frac{- 1}{2}} d x + \int d x$

خطوة 6.3.2.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$2 (\ln (| x |) + C) + \int x^{- \frac{1}{2}} d x + \int d x$

خطوة 7

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{- \frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (\ln (| x |) + C) + 2 x^{\frac{1}{2}} + C + \int d x$

خطوة 8

طبّق قاعدة الثابت.

$2 (\ln (| x |) + C) + 2 x^{\frac{1}{2}} + C + x + C$

خطوة 9

بسّط.

$2 \ln (| x |) + 2 x^{\frac{1}{2}} + x + C$