حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$4 \sqrt{y} = x - y$

خطوة 1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{y}$ في صورة $y^{\frac{1}{2}}$ .

$4 y^{\frac{1}{2}} = x - y$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (4 y^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d x} (x - y)$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 y^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$4 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$4 (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 3.3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 3.4

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 3.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$4 (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 3.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$4 (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 3.6.2

اطرح $2$ من $1$ .

$4 (\frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 3.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$4 (\frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 3.8

اجمع $\frac{1}{2}$ و $y^{- \frac{1}{2}}$ .

$4 (\frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 3.9

انقُل $y^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 (\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 3.10

اجمع $\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ و $4$ .

$\frac{4}{2 y^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 3.11

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 y^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 3.12

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.12.1

أخرِج العامل $2$ من $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (y^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 3.12.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot 2}{2 y^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 3.12.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2}{y^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 3.13

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$\frac{2}{y^{\frac{1}{2}}} y'$

خطوة 3.14

اجمع $\frac{2}{y^{\frac{1}{2}}}$ و $y'$ .

$\frac{2 y'}{y^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - y$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$

خطوة 4.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- y]$

خطوة 4.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$1 - \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 4.2.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$1 - y'$

خطوة 5

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$\frac{2 y'}{y^{\frac{1}{2}}} = 1 - y'$

خطوة 6

أوجِد قيمة $y^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب كلا الطرفين في $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = (1 - y') y^{\frac{1}{2}}$

خطوة 6.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $y^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = (1 - y') y^{\frac{1}{2}}$

خطوة 6.2.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$2 y' = (1 - y') y^{\frac{1}{2}}$

خطوة 6.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

بسّط $(1 - y') y^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$2 y' = 1 y^{\frac{1}{2}} - y' y^{\frac{1}{2}}$

خطوة 6.2.2.1.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1.2.1

اضرب $y^{\frac{1}{2}}$ في $1$ .

$2 y' = y^{\frac{1}{2}} - y' y^{\frac{1}{2}}$

خطوة 6.2.2.1.2.2

أعِد ترتيب $y^{\frac{1}{2}}$ و $- y' y^{\frac{1}{2}}$ .

$2 y' = - y' y^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}$

خطوة 6.3

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

أضف $y' y^{\frac{1}{2}}$ إلى كلا المتعادلين.

$2 y' + y' y^{\frac{1}{2}} = y^{\frac{1}{2}}$

خطوة 6.3.2

أوجِد العامل المشترك $y^{\frac{1}{2}}$ الموجود في كل حد.

$2 {({y'}^{\frac{1}{2}})}^{2} + y' y^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}}$

خطوة 6.3.3

عوّض بقيمة $y^{\frac{1}{2}}$ التي تساوي $u$ .

$2 {({y'}^{\frac{1}{2}})}^{2} + y' (u) - (u) = 0$

خطوة 6.3.4

أوجِد قيمة $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.4.1.1

اضرب الأُسس في ${({y'}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.4.1.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 {y'}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + y' u - u = 0$

خطوة 6.3.4.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.4.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 {y'}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + y' u - u = 0$

خطوة 6.3.4.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$2 {y'}^{1} + y' u - u = 0$

خطوة 6.3.4.1.2

بسّط.

$2 y' + y' u - u = 0$

خطوة 6.3.4.2

اطرح $2 y'$ من كلا المتعادلين.

$y' u - u = - 2 y'$

خطوة 6.3.4.3

أخرِج العامل $u$ من $y' u - u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.4.3.1

أخرِج العامل $u$ من $y' u$ .

$u y' - u = - 2 y'$

خطوة 6.3.4.3.2

أخرِج العامل $u$ من $- u$ .

$u y' + u \cdot - 1 = - 2 y'$

خطوة 6.3.4.3.3

أخرِج العامل $u$ من $u y' + u \cdot - 1$ .

$u (y' - 1) = - 2 y'$

خطوة 6.3.4.4

اقسِم كل حد في $u (y' - 1) = - 2 y'$ على $y' - 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.4.4.1

اقسِم كل حد في $u (y' - 1) = - 2 y'$ على $y' - 1$ .

$\frac{u (y' - 1)}{y' - 1} = \frac{- 2 y'}{y' - 1}$

خطوة 6.3.4.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.4.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $y' - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.4.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{u (y' - 1)}{y' - 1} = \frac{- 2 y'}{y' - 1}$

خطوة 6.3.4.4.2.1.2

اقسِم $u$ على $1$ .

$u = \frac{- 2 y'}{y' - 1}$

خطوة 6.3.4.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.4.4.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$u = - \frac{2 y'}{y' - 1}$

خطوة 6.3.5

عوّض بقيمة $u$ التي تساوي $y'$ .

$y^{\frac{1}{2}} = - \frac{2 y'}{y' - 1}$

خطوة 7

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 y'}{y' - 1}$