حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{x^{2}}{x - 5}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = x - 5$ .

$\frac{(x - 5) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{(x - 5) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

خطوة 1.2.2

انقُل $2$ إلى يسار $x - 5$ .

$\frac{2 \cdot (x - 5) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

خطوة 1.2.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 5$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{2 (x - 5) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(x - 5)}^{2}}$

خطوة 1.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{2 (x - 5) x - x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(x - 5)}^{2}}$

خطوة 1.2.5

بما أن $- 5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 5$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{2 (x - 5) x - x^{2} (1 + 0)}{{(x - 5)}^{2}}$

خطوة 1.2.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.1

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{2 (x - 5) x - x^{2} \cdot 1}{{(x - 5)}^{2}}$

خطوة 1.2.6.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{2 (x - 5) x - x^{2}}{{(x - 5)}^{2}}$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{(2 x + 2 \cdot - 5) x - x^{2}}{{(x - 5)}^{2}}$

خطوة 1.3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot - 5 x - x^{2}}{{(x - 5)}^{2}}$

خطوة 1.3.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.1.1

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.1.1.1

انقُل $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 \cdot - 5 x - x^{2}}{{(x - 5)}^{2}}$

خطوة 1.3.3.1.1.2

اضرب $x$ في $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 \cdot - 5 x - x^{2}}{{(x - 5)}^{2}}$

خطوة 1.3.3.1.2

اضرب $2$ في $- 5$ .

$\frac{2 x^{2} - 10 x - x^{2}}{{(x - 5)}^{2}}$

خطوة 1.3.3.2

اطرح $x^{2}$ من $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 10 x}{{(x - 5)}^{2}}$

خطوة 1.3.4

أخرِج العامل $x$ من $x^{2} - 10 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.4.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x - 10 x}{{(x - 5)}^{2}}$

خطوة 1.3.4.2

أخرِج العامل $x$ من $- 10 x$ .

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 10}{{(x - 5)}^{2}}$

خطوة 1.3.4.3

أخرِج العامل $x$ من $x \cdot x + x \cdot - 10$ .

$\frac{x (x - 10)}{{(x - 5)}^{2}}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} (x (x - 10)) - x (x - 10) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{2}}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}}$

خطوة 2.2

اضرب الأُسس في ${({(x - 5)}^{2})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} (x (x - 10)) - x (x - 10) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{2 \cdot 2}}$

خطوة 2.2.2

اضرب $2$ في $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} (x (x - 10)) - x (x - 10) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{4}}$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = x - 10$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} (x \frac{d}{d x} (x - 10) + (x - 10) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 10) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{4}}$

خطوة 2.4

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 10$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 10]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} (x (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 10)) + (x - 10) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 10) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{4}}$

خطوة 2.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} (x (1 + \frac{d}{d x} (- 10)) + (x - 10) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 10) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{4}}$

خطوة 2.4.3

بما أن $- 10$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 10$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} (x (1 + 0) + (x - 10) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 10) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{4}}$

خطوة 2.4.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.4.1

أضف $1$ و $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} (x \cdot 1 + (x - 10) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 10) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{4}}$

خطوة 2.4.4.2

اضرب $x$ في $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} (x + (x - 10) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 10) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{4}}$

خطوة 2.4.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} (x + (x - 10) \cdot 1) - x (x - 10) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{4}}$

خطوة 2.4.6

بسّط بجمع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.6.1

اضرب $x - 10$ في $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} (x + x - 10) - x (x - 10) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{4}}$

خطوة 2.4.6.2

أضف $x$ و $x$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} (2 x - 10) - x (x - 10) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{4}}$

خطوة 2.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = x - 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x - 5$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} (2 x - 10) - x (x - 10) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x - 5))}{{(x - 5)}^{4}}$

خطوة 2.5.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} (2 x - 10) - x (x - 10) (2 u \frac{d}{d x} (x - 5))}{{(x - 5)}^{4}}$

خطوة 2.5.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x - 5$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} (2 x - 10) - x (x - 10) (2 (x - 5) \frac{d}{d x} (x - 5))}{{(x - 5)}^{4}}$

خطوة 2.6

بسّط بالتحليل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} (2 x - 10) - 2 x (x - 10) ((x - 5) \frac{d}{d x} (x - 5))}{{(x - 5)}^{4}}$

خطوة 2.6.2

أخرِج العامل $x - 5$ من ${(x - 5)}^{2} (2 x - 10) - 2 x (x - 10) ((x - 5) \frac{d}{d x} [x - 5])$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.2.1

أخرِج العامل $x - 5$ من ${(x - 5)}^{2} (2 x - 10)$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 5) ((x - 5) (2 x - 10)) - 2 x (x - 10) ((x - 5) \frac{d}{d x} (x - 5))}{{(x - 5)}^{4}}$

خطوة 2.6.2.2

أخرِج العامل $x - 5$ من $- 2 x (x - 10) ((x - 5) \frac{d}{d x} [x - 5])$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 5) ((x - 5) (2 x - 10)) + (x - 5) (- 2 x (x - 10) (\frac{d}{d x} (x - 5)))}{{(x - 5)}^{4}}$

خطوة 2.6.2.3

أخرِج العامل $x - 5$ من $(x - 5) ((x - 5) (2 x - 10)) + (x - 5) (- 2 x (x - 10) (\frac{d}{d x} [x - 5]))$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 5) ((x - 5) (2 x - 10) - 2 x (x - 10) (\frac{d}{d x} (x - 5)))}{{(x - 5)}^{4}}$

خطوة 2.7

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.1

أخرِج العامل $x - 5$ من ${(x - 5)}^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 5) ((x - 5) (2 x - 10) - 2 x (x - 10) (\frac{d}{d x} (x - 5)))}{(x - 5) {(x - 5)}^{3}}$

خطوة 2.7.2

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (x) = \frac{(x - 5) ((x - 5) (2 x - 10) - 2 x (x - 10) (\frac{d}{d x} (x - 5)))}{(x - 5) {(x - 5)}^{3}}$

خطوة 2.7.3

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (x) = \frac{(x - 5) (2 x - 10) - 2 x (x - 10) (\frac{d}{d x} (x - 5))}{{(x - 5)}^{3}}$

خطوة 2.8

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 5$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 5) (2 x - 10) - 2 x (x - 10) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 5))}{{(x - 5)}^{3}}$

خطوة 2.9

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 5) (2 x - 10) - 2 x (x - 10) (1 + \frac{d}{d x} (- 5))}{{(x - 5)}^{3}}$

خطوة 2.10

بما أن $- 5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 5$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 5) (2 x - 10) - 2 x (x - 10) (1 + 0)}{{(x - 5)}^{3}}$

خطوة 2.11

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.11.1

أضف $1$ و $0$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 5) (2 x - 10) - 2 x (x - 10) \cdot 1}{{(x - 5)}^{3}}$

خطوة 2.11.2

اضرب $- 2$ في $1$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 5) (2 x - 10) - 2 x (x - 10)}{{(x - 5)}^{3}}$

خطوة 2.12

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.12.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{(x - 5) (2 x - 10) - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 10}{{(x - 5)}^{3}}$

خطوة 2.12.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.12.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.12.2.1.1

وسّع $(x - 5) (2 x - 10)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.12.2.1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{x (2 x - 10) - 5 (2 x - 10) - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 10}{{(x - 5)}^{3}}$

خطوة 2.12.2.1.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{x (2 x) + x \cdot - 10 - 5 (2 x - 10) - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 10}{{(x - 5)}^{3}}$

خطوة 2.12.2.1.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{x (2 x) + x \cdot - 10 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 10 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 10}{{(x - 5)}^{3}}$

خطوة 2.12.2.1.2

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.12.2.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.12.2.1.2.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$f'' (x) = \frac{2 x \cdot x + x \cdot - 10 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 10 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 10}{{(x - 5)}^{3}}$

خطوة 2.12.2.1.2.1.2

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.12.2.1.2.1.2.1

انقُل $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x \cdot x) + x \cdot - 10 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 10 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 10}{{(x - 5)}^{3}}$

خطوة 2.12.2.1.2.1.2.2

اضرب $x$ في $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} + x \cdot - 10 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 10 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 10}{{(x - 5)}^{3}}$

خطوة 2.12.2.1.2.1.3

انقُل $- 10$ إلى يسار $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 10 \cdot x - 5 (2 x) - 5 \cdot - 10 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 10}{{(x - 5)}^{3}}$

خطوة 2.12.2.1.2.1.4

اضرب $2$ في $- 5$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 10 x - 10 x - 5 \cdot - 10 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 10}{{(x - 5)}^{3}}$

خطوة 2.12.2.1.2.1.5

اضرب $- 5$ في $- 10$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 10 x - 10 x + 50 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 10}{{(x - 5)}^{3}}$

خطوة 2.12.2.1.2.2

اطرح $10 x$ من $- 10 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 20 x + 50 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 10}{{(x - 5)}^{3}}$

خطوة 2.12.2.1.3

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.12.2.1.3.1

انقُل $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 20 x + 50 - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 10}{{(x - 5)}^{3}}$

خطوة 2.12.2.1.3.2

اضرب $x$ في $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 20 x + 50 - 2 x^{2} - 2 x \cdot - 10}{{(x - 5)}^{3}}$

خطوة 2.12.2.1.4

اضرب $- 10$ في $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 20 x + 50 - 2 x^{2} + 20 x}{{(x - 5)}^{3}}$

خطوة 2.12.2.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $2 x^{2} - 20 x + 50 - 2 x^{2} + 20 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.12.2.2.1

اطرح $2 x^{2}$ من $2 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 20 x + 50 + 0 + 20 x}{{(x - 5)}^{3}}$

خطوة 2.12.2.2.2

أضف $- 20 x + 50$ و $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 20 x + 50 + 20 x}{{(x - 5)}^{3}}$

خطوة 2.12.2.2.3

أضف $- 20 x$ و $20 x$ .

$f'' (x) = \frac{0 + 50}{{(x - 5)}^{3}}$

خطوة 2.12.2.2.4

أضف $0$ و $50$ .

$f'' (x) = \frac{50}{{(x - 5)}^{3}}$

خطوة 3

لإيجاد قيم الحد الأقصى المحلي والحد الأدنى المحلي للدالة، عيّن قيمة المشتق لتصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد الحل.

$\frac{x (x - 10)}{{(x - 5)}^{2}} = 0$

خطوة 4

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

$\frac{(x - 5) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

خطوة 4.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{(x - 5) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

خطوة 4.1.2.2

انقُل $2$ إلى يسار $x - 5$ .

$\frac{2 \cdot (x - 5) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

خطوة 4.1.2.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 5$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{2 (x - 5) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(x - 5)}^{2}}$

خطوة 4.1.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{2 (x - 5) x - x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(x - 5)}^{2}}$

خطوة 4.1.2.5

بما أن $- 5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 5$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{2 (x - 5) x - x^{2} (1 + 0)}{{(x - 5)}^{2}}$

خطوة 4.1.2.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.6.1

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{2 (x - 5) x - x^{2} \cdot 1}{{(x - 5)}^{2}}$

خطوة 4.1.2.6.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{2 (x - 5) x - x^{2}}{{(x - 5)}^{2}}$

خطوة 4.1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{(2 x + 2 \cdot - 5) x - x^{2}}{{(x - 5)}^{2}}$

خطوة 4.1.3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot - 5 x - x^{2}}{{(x - 5)}^{2}}$

خطوة 4.1.3.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.3.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.3.3.1.1

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.3.3.1.1.1

انقُل $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 \cdot - 5 x - x^{2}}{{(x - 5)}^{2}}$

خطوة 4.1.3.3.1.1.2

اضرب $x$ في $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 \cdot - 5 x - x^{2}}{{(x - 5)}^{2}}$

خطوة 4.1.3.3.1.2

اضرب $2$ في $- 5$ .

$\frac{2 x^{2} - 10 x - x^{2}}{{(x - 5)}^{2}}$

خطوة 4.1.3.3.2

اطرح $x^{2}$ من $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 10 x}{{(x - 5)}^{2}}$

خطوة 4.1.3.4

أخرِج العامل $x$ من $x^{2} - 10 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.3.4.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x - 10 x}{{(x - 5)}^{2}}$

خطوة 4.1.3.4.2

أخرِج العامل $x$ من $- 10 x$ .

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 10}{{(x - 5)}^{2}}$

خطوة 4.1.3.4.3

أخرِج العامل $x$ من $x \cdot x + x \cdot - 10$ .

$f' (x) = \frac{x (x - 10)}{{(x - 5)}^{2}}$

خطوة 4.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{x (x - 10)}{{(x - 5)}^{2}}$ .

$\frac{x (x - 10)}{{(x - 5)}^{2}}$

خطوة 5

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $\frac{x (x - 10)}{{(x - 5)}^{2}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\frac{x (x - 10)}{{(x - 5)}^{2}} = 0$

خطوة 5.2

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$x (x - 10) = 0$

خطوة 5.3

أوجِد قيمة $x$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x = 0$

$x - 10 = 0$

خطوة 5.3.2

عيّن قيمة $x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x = 0$

خطوة 5.3.3

عيّن قيمة العبارة $x - 10$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

عيّن قيمة $x - 10$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 10 = 0$

خطوة 5.3.3.2

أضف $10$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 10$

خطوة 5.3.4

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $x (x - 10) = 0$ صحيحة.

$x = 0, 10$

خطوة 6

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

عيّن قيمة القاسم في $\frac{x (x - 10)}{{(x - 5)}^{2}}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

${(x - 5)}^{2} = 0$

خطوة 6.2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

عيّن قيمة $x - 5$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 5 = 0$

خطوة 6.2.2

أضف $5$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 5$

خطوة 7

النقاط الحرجة اللازم حساب قيمتها.

$x = 0, 10$

خطوة 8

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = 0$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$\frac{50}{{((0) - 5)}^{3}}$

خطوة 9

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

اطرح $5$ من $0$ .

$\frac{50}{{(- 5)}^{3}}$

خطوة 9.1.2

ارفع $- 5$ إلى القوة $3$ .

$\frac{50}{- 125}$

خطوة 9.2

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

احذِف العامل المشترك لـ $50$ و $- 125$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1.1

أخرِج العامل $25$ من $50$ .

$\frac{25 (2)}{- 125}$

خطوة 9.2.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1.2.1

أخرِج العامل $25$ من $- 125$ .

$\frac{25 \cdot 2}{25 \cdot - 5}$

خطوة 9.2.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{25 \cdot 2}{25 \cdot - 5}$

خطوة 9.2.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2}{- 5}$

خطوة 9.2.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{2}{5}$

خطوة 10

$x = 0$ هي حد أقصى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية سالبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = 0$ هي حد أقصى محلي

خطوة 11

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f (0) = \frac{{(0)}^{2}}{(0) - 5}$

خطوة 11.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f (0) = \frac{0}{0 - 5}$

خطوة 11.2.2

اطرح $5$ من $0$ .

$f (0) = \frac{0}{- 5}$

خطوة 11.2.3

اقسِم $0$ على $- 5$ .

$f (0) = 0$

خطوة 11.2.4

الإجابة النهائية هي $0$ .

$y = 0$

خطوة 12

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = 10$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$\frac{50}{{((10) - 5)}^{3}}$

خطوة 13

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.1

اطرح $5$ من $10$ .

$\frac{50}{5^{3}}$

خطوة 13.1.2

ارفع $5$ إلى القوة $3$ .

$\frac{50}{125}$

خطوة 13.2

احذِف العامل المشترك لـ $50$ و $125$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.1

أخرِج العامل $25$ من $50$ .

$\frac{25 (2)}{125}$

خطوة 13.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.2.1

أخرِج العامل $25$ من $125$ .

$\frac{25 \cdot 2}{25 \cdot 5}$

خطوة 13.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{25 \cdot 2}{25 \cdot 5}$

خطوة 13.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2}{5}$

خطوة 14

$x = 10$ هي حد أدنى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية موجبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = 10$ هي حد أدنى محلي

خطوة 15

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = 10$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $10$ في العبارة.

$f (10) = \frac{{(10)}^{2}}{(10) - 5}$

خطوة 15.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.2.1

ارفع $10$ إلى القوة $2$ .

$f (10) = \frac{100}{10 - 5}$

خطوة 15.2.2

اطرح $5$ من $10$ .

$f (10) = \frac{100}{5}$

خطوة 15.2.3

اقسِم $100$ على $5$ .

$f (10) = 20$

خطوة 15.2.4

الإجابة النهائية هي $20$ .

$y = 20$

خطوة 16

هذه هي القيم القصوى المحلية لـ $f (x) = \frac{x^{2}}{x - 5}$ .

$(0, 0)$ هي نقطة قصوى محلية

$(10, 20)$ هي نقاط دنيا محلية

خطوة 17