حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \sqrt{1 + \tan^{2} (x)}$

خطوة 1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{1 + \tan^{2} (x)}$ في صورة ${(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}})$

خطوة 3

مشتق $y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $y'$ .

$y'$

خطوة 4

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ و $g (x) = 1 + \tan^{2} (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $1 + \tan^{2} (x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 + \tan^{2} (x)]$

خطوة 4.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + \tan^{2} (x)]$

خطوة 4.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $1 + \tan^{2} (x)$ .

$\frac{1}{2} {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + \tan^{2} (x)]$

خطوة 4.2

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + \tan^{2} (x)]$

خطوة 4.3

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + \tan^{2} (x)]$

خطوة 4.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{2} {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + \tan^{2} (x)]$

خطوة 4.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{1}{2} {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + \tan^{2} (x)]$

خطوة 4.5.2

اطرح $2$ من $1$ .

$\frac{1}{2} {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + \tan^{2} (x)]$

خطوة 4.6

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{2} {(1 + \tan^{2} (x))}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + \tan^{2} (x)]$

خطوة 4.6.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.2.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و ${(1 + \tan^{2} (x))}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(1 + \tan^{2} (x))}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 + \tan^{2} (x)]$

خطوة 4.6.2.2

انقُل ${(1 + \tan^{2} (x))}^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + \tan^{2} (x)]$

خطوة 4.6.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + \tan^{2} (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]$ .

$\frac{1}{2 {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)])$

خطوة 4.6.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{1}{2 {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)])$

خطوة 4.6.5

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]$ .

$\frac{1}{2 {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]$

خطوة 4.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = \tan (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $\tan (x)$ .

$\frac{1}{2 {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

خطوة 4.7.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ هو $n {u_{2}}^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

خطوة 4.7.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $\tan (x)$ .

$\frac{1}{2 {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} (2 \tan (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

خطوة 4.8

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.8.1

اجمع $2$ و $\frac{1}{2 {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2}{2 {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} (\tan (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

خطوة 4.8.2

اجمع $\tan (x)$ و $\frac{2}{2 {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\tan (x) \cdot 2}{2 {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

خطوة 4.8.3

انقُل $2$ إلى يسار $\tan (x)$ .

$\frac{2 \cdot \tan (x)}{2 {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

خطوة 4.8.4

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \tan (x)}{2 {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

خطوة 4.8.5

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{\tan (x)}{{(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

خطوة 4.9

مشتق $\tan (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{\tan (x)}{{(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} \sec^{2} (x)$

خطوة 4.10

اجمع $\frac{\tan (x)}{{(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}}$ و $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{\tan (x) \sec^{2} (x)}{{(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4.11

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.11.1

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{\sec^{2} (x) \tan (x)}{{(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4.11.2

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{\sec^{2} (x) \tan (x)}{{(\tan^{2} (x) + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4.11.3

طبّق متطابقة فيثاغورس.

$\frac{\sec^{2} (x) \tan (x)}{{(\sec^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4.11.4

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.11.4.1

اضرب الأُسس في ${(\sec^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.11.4.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sec^{2} (x) \tan (x)}{{\sec (x)}^{2 (\frac{1}{2})}}$

خطوة 4.11.4.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.11.4.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\sec^{2} (x) \tan (x)}{{\sec (x)}^{2 (\frac{1}{2})}}$

خطوة 4.11.4.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{\sec^{2} (x) \tan (x)}{\sec^{1} (x)}$

خطوة 4.11.4.2

بسّط.

$\frac{\sec^{2} (x) \tan (x)}{\sec (x)}$

خطوة 4.11.5

احذِف العامل المشترك لـ $\sec^{2} (x)$ و $\sec (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.11.5.1

أخرِج العامل $\sec (x)$ من $\sec^{2} (x) \tan (x)$ .

$\frac{\sec (x) (\sec (x) \tan (x))}{\sec (x)}$

خطوة 4.11.5.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.11.5.2.1

اضرب في $1$ .

$\frac{\sec (x) (\sec (x) \tan (x))}{\sec (x) \cdot 1}$

خطوة 4.11.5.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\sec (x) (\sec (x) \tan (x))}{\sec (x) \cdot 1}$

خطوة 4.11.5.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{\sec (x) \tan (x)}{1}$

خطوة 4.11.5.2.4

اقسِم $\sec (x) \tan (x)$ على $1$ .

$\sec (x) \tan (x)$

خطوة 5

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$y' = \sec (x) \tan (x)$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \sec (x) \tan (x)$