حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = x^{2}$

خطوة 1

عامل التكامل معرّف من خلال القاعدة $e^{\int P (x) d x}$ ، حيث $P (x) = 3 x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

عيّن التكامل.

$e^{\int 3 x^{2} d x}$

خطوة 1.2

أوجِد تكامل $3 x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$e^{3 \int x^{2} d x}$

خطوة 1.2.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$e^{3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)}$

خطوة 1.2.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

أعِد كتابة $3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$ بالصيغة $3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$ .

$e^{3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C}$

خطوة 1.2.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.1

اجمع $3$ و $\frac{1}{3}$ .

$e^{\frac{3}{3} x^{3} + C}$

خطوة 1.2.3.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$e^{\frac{3}{3} x^{3} + C}$

خطوة 1.2.3.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$e^{1 x^{3} + C}$

خطوة 1.2.3.2.3

اضرب $x^{3}$ في $1$ .

$e^{x^{3} + C}$

خطوة 1.3

احذف ثابت التكامل.

$e^{x^{3}}$

خطوة 2

اضرب كل حد في عامل التكامل $e^{x^{3}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اضرب كل حد في $e^{x^{3}}$ .

$e^{x^{3}} \frac{d y}{d x} + e^{x^{3}} (3 x^{2} y) = e^{x^{3}} x^{2}$

خطوة 2.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$e^{x^{3}} \frac{d y}{d x} + 3 e^{x^{3}} (x^{2} y) = e^{x^{3}} x^{2}$

خطوة 2.3

أعِد ترتيب العوامل في $e^{x^{3}} \frac{d y}{d x} + 3 e^{x^{3}} (x^{2} y) = e^{x^{3}} x^{2}$ .

$e^{x^{3}} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y e^{x^{3}} = x^{2} e^{x^{3}}$

خطوة 3

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d x} [e^{x^{3}} y] = x^{2} e^{x^{3}}$

خطوة 4

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x^{3}} y] d x = \int x^{2} e^{x^{3}} d x$

خطوة 5

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$e^{x^{3}} y = \int x^{2} e^{x^{3}} d x$

خطوة 6

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

لنفترض أن $u_{2} = e^{x^{3}}$ . إذن $d u_{2} = 3 x^{2} e^{x^{3}} d x$ ، لذا $\frac{1}{3} d u_{2} = x^{2} e^{x^{3}} d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

افترض أن $u_{2} = e^{x^{3}}$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.1

أوجِد مشتقة $e^{x^{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x^{3}}]$

خطوة 6.1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = x^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $x^{3}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 6.1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ هو $a^{u_{1}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 6.1.1.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $x^{3}$ .

$e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 6.1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$e^{x^{3}} (3 x^{2})$

خطوة 6.1.1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.4.1

أعِد ترتيب عوامل $e^{x^{3}} (3 x^{2})$ .

$3 e^{x^{3}} x^{2}$

خطوة 6.1.1.4.2

أعِد ترتيب العوامل في $3 e^{x^{3}} x^{2}$ .

$3 x^{2} e^{x^{3}}$

خطوة 6.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$e^{x^{3}} y = \int \frac{1}{3} d u_{2}$

خطوة 6.2

طبّق قاعدة الثابت.

$e^{x^{3}} y = \frac{1}{3} u_{2} + C$

خطوة 6.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $e^{x^{3}}$ .

$e^{x^{3}} y = \frac{1}{3} e^{x^{3}} + C$

خطوة 7

اقسِم كل حد في $e^{x^{3}} y = \frac{1}{3} e^{x^{3}} + C$ على $e^{x^{3}}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اقسِم كل حد في $e^{x^{3}} y = \frac{1}{3} e^{x^{3}} + C$ على $e^{x^{3}}$ .

$\frac{e^{x^{3}} y}{e^{x^{3}}} = \frac{\frac{1}{3} e^{x^{3}}}{e^{x^{3}}} + \frac{C}{e^{x^{3}}}$

خطوة 7.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{x^{3}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{e^{x^{3}} y}{e^{x^{3}}} = \frac{\frac{1}{3} e^{x^{3}}}{e^{x^{3}}} + \frac{C}{e^{x^{3}}}$

خطوة 7.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{3} e^{x^{3}}}{e^{x^{3}}} + \frac{C}{e^{x^{3}}}$

خطوة 7.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{x^{3}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$y = \frac{\frac{1}{3} e^{x^{3}}}{e^{x^{3}}} + \frac{C}{e^{x^{3}}}$

خطوة 7.3.1.2

اقسِم $\frac{1}{3}$ على $1$ .

$y = \frac{1}{3} + \frac{C}{e^{x^{3}}}$