حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y^{4} - 4 y^{2} = x^{4} - 9 x^{2}$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (y^{4} - 4 y^{2}) = \frac{d}{d x} (x^{4} - 9 x^{2})$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $y^{4} - 4 y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [y^{4}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{4}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $y$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

خطوة 2.2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

خطوة 2.2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $y$ .

$4 y^{3} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

خطوة 2.2.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$4 y^{3} y' + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 4 y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 4 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$4 y^{3} y' - 4 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $y$ .

$4 y^{3} y' - 4 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 2.3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ هو $n {u_{2}}^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$4 y^{3} y' - 4 (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 2.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $y$ .

$4 y^{3} y' - 4 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 2.3.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$4 y^{3} y' - 4 (2 y y')$

خطوة 2.3.4

اضرب $2$ في $- 4$ .

$4 y^{3} y' - 8 y y'$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{4} - 9 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

خطوة 3.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

خطوة 3.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بما أن $- 9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 9 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$4 x^{3} - 9 (2 x)$

خطوة 3.2.3

اضرب $2$ في $- 9$ .

$4 x^{3} - 18 x$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$4 y^{3} y' - 8 y y' = 4 x^{3} - 18 x$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أخرِج العامل $4 y y'$ من $4 y^{3} y' - 8 y y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أخرِج العامل $4 y y'$ من $4 y^{3} y'$ .

$4 y y' y^{2} - 8 y y' = 4 x^{3} - 18 x$

خطوة 5.1.2

أخرِج العامل $4 y y'$ من $- 8 y y'$ .

$4 y y' y^{2} + 4 y y' \cdot - 2 = 4 x^{3} - 18 x$

خطوة 5.1.3

أخرِج العامل $4 y y'$ من $4 y y' y^{2} + 4 y y' \cdot - 2$ .

$4 y y' (y^{2} - 2) = 4 x^{3} - 18 x$

خطوة 5.2

اقسِم كل حد في $4 y y' (y^{2} - 2) = 4 x^{3} - 18 x$ على $4 y (y^{2} - 2)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

اقسِم كل حد في $4 y y' (y^{2} - 2) = 4 x^{3} - 18 x$ على $4 y (y^{2} - 2)$ .

$\frac{4 y y' (y^{2} - 2)}{4 y (y^{2} - 2)} = \frac{4 x^{3}}{4 y (y^{2} - 2)} + \frac{- 18 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

خطوة 5.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 y y' (y^{2} - 2)}{4 y (y^{2} - 2)} = \frac{4 x^{3}}{4 y (y^{2} - 2)} + \frac{- 18 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

خطوة 5.2.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y y' (y^{2} - 2)}{y (y^{2} - 2)} = \frac{4 x^{3}}{4 y (y^{2} - 2)} + \frac{- 18 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

خطوة 5.2.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y y' (y^{2} - 2)}{y (y^{2} - 2)} = \frac{4 x^{3}}{4 y (y^{2} - 2)} + \frac{- 18 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

خطوة 5.2.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y' (y^{2} - 2)}{y^{2} - 2} = \frac{4 x^{3}}{4 y (y^{2} - 2)} + \frac{- 18 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

خطوة 5.2.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $y^{2} - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (y^{2} - 2)}{y^{2} - 2} = \frac{4 x^{3}}{4 y (y^{2} - 2)} + \frac{- 18 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

خطوة 5.2.2.3.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{4 x^{3}}{4 y (y^{2} - 2)} + \frac{- 18 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

خطوة 5.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$y' = \frac{4 x^{3}}{4 y (y^{2} - 2)} + \frac{- 18 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

خطوة 5.2.3.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$y' = \frac{x^{3}}{y (y^{2} - 2)} + \frac{- 18 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

خطوة 5.2.3.1.2

احذِف العامل المشترك لـ $- 18$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $- 18 x$ .

$y' = \frac{x^{3}}{y (y^{2} - 2)} + \frac{2 (- 9 x)}{4 y (y^{2} - 2)}$

خطوة 5.2.3.1.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4 y (y^{2} - 2)$ .

$y' = \frac{x^{3}}{y (y^{2} - 2)} + \frac{2 (- 9 x)}{2 (2 y (y^{2} - 2))}$

خطوة 5.2.3.1.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y' = \frac{x^{3}}{y (y^{2} - 2)} + \frac{2 (- 9 x)}{2 (2 y (y^{2} - 2))}$

خطوة 5.2.3.1.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y' = \frac{x^{3}}{y (y^{2} - 2)} + \frac{- 9 x}{2 y (y^{2} - 2)}$

خطوة 5.2.3.1.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = \frac{x^{3}}{y (y^{2} - 2)} - \frac{9 x}{2 y (y^{2} - 2)}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{3}}{y (y^{2} - 2)} - \frac{9 x}{2 y (y^{2} - 2)}$