حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to - \infty} \frac{e^{- x}}{x}$

خطوة 1

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{lim_{x \to - \infty} e^{- x}}{lim_{x \to - \infty} x}$

خطوة 1.1.2

بما أن الأُس $- x$ يقترب من $\infty$ ، إذن الكمية $e^{- x}$ تقترب من $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to - \infty} x}$

خطوة 1.1.3

النهاية عند قيمة غير متناهية سالبة لمتعدد حدود ذي درجة فردية ومعامله الرئيسي موجب تساوي قيمة غير متناهية سالبة.

$\frac{\infty}{- \infty}$

خطوة 1.1.4

ناتج قسمة ما لا نهاية على ما لا نهاية يساوي قيمة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{\infty}{- \infty}$

خطوة 1.2

بما أن $\frac{\infty}{- \infty}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{x \to - \infty} \frac{e^{- x}}{x} = lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{- x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{- x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = - x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $- x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{e^{u} \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{e^{- x} (- 1 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.5

اضرب $- 1$ في $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{e^{- x} \cdot - 1}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.6

انقُل $- 1$ إلى يسار $e^{- x}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 1 \cdot e^{- x}}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.7

أعِد كتابة $- 1 e^{- x}$ بالصيغة $- e^{- x}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- e^{- x}}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- e^{- x}}{1}$

خطوة 1.4

اقسِم $- e^{- x}$ على $1$ .

$lim_{x \to - \infty} - e^{- x}$

خطوة 2

بما أن الدالة $e^{- x}$ تقترب من $\infty$ ، إذن حاصل ضرب الثابت السالب $- 1$ في الدالة يقترب من $- \infty$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

انظر النهاية ذات المضاعف الثابت $- 1$ المحذوف.

$lim_{x \to - \infty} e^{- x}$

خطوة 2.2

بما أن الأُس $- x$ يقترب من $\infty$ ، إذن الكمية $e^{- x}$ تقترب من $\infty$ .

$\infty$

خطوة 2.3

بما أن الدالة $e^{- x}$ تقترب من $\infty$ ، إذن حاصل ضرب الثابت السالب $- 1$ في الدالة يقترب من $- \infty$ .

$- \infty$