حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to 0^{+}} {(3 x + 1)}^{\cot (x)}$

خطوة 1

استخدِم خصائص اللوغاريتمات لتبسيط النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أعِد كتابة ${(3 x + 1)}^{\cot (x)}$ بالصيغة $e^{\ln ({(3 x + 1)}^{\cot (x)})}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} e^{\ln ({(3 x + 1)}^{\cot (x)})}$

خطوة 1.2

وسّع $\ln ({(3 x + 1)}^{\cot (x)})$ بنقل $\cot (x)$ خارج اللوغاريتم.

$lim_{x \to 0^{+}} e^{\cot (x) \ln (3 x + 1)}$

خطوة 2

انقُل النهاية إلى الأُس.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \cot (x) \ln (3 x + 1)}$

خطوة 3

أعِد كتابة $\cot (x) \ln (3 x + 1)$ بالصيغة $\frac{\ln (3 x + 1)}{\frac{1}{\cot (x)}}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (3 x + 1)}{\frac{1}{\cot (x)}}}$

خطوة 4

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$e^{\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (3 x + 1)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\cot (x)}}}$

خطوة 4.1.2

احسِب قيمة حد بسط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1.1

انقُل النهاية داخل اللوغاريتم.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to 0^{+}} 3 x + 1)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\cot (x)}}}$

خطوة 4.1.2.1.2

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to 0^{+}} 3 x + lim_{x \to 0^{+}} 1)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\cot (x)}}}$

خطوة 4.1.2.1.3

انقُل الحد $3$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$e^{\frac{\ln (3 lim_{x \to 0^{+}} x + lim_{x \to 0^{+}} 1)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\cot (x)}}}$

خطوة 4.1.2.1.4

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $0$ .

$e^{\frac{\ln (3 lim_{x \to 0^{+}} x + 1)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\cot (x)}}}$

خطوة 4.1.2.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$e^{\frac{\ln (3 \cdot 0 + 1)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\cot (x)}}}$

خطوة 4.1.2.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.3.1

اضرب $3$ في $0$ .

$e^{\frac{\ln (0 + 1)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\cot (x)}}}$

خطوة 4.1.2.3.2

أضف $0$ و $1$ .

$e^{\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\cot (x)}}}$

خطوة 4.1.2.3.3

اللوغاريتم الطبيعي لـ $1$ يساوي $0$ .

$e^{\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\cot (x)}}}$

خطوة 4.1.3

احسِب قيمة حد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.3.1

طبّق المتطابقات المثلثية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.3.1.1

أعِد كتابة $\cot (x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$e^{\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}}}$

خطوة 4.1.3.1.2

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$e^{\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}}$

خطوة 4.1.3.1.3

حوّل من $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ إلى $\tan (x)$ .

$e^{\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \tan (x)}}$

خطوة 4.1.3.2

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة المماس متصلة.

$e^{\frac{0}{\tan (lim_{x \to 0^{+}} x)}}$

خطوة 4.1.3.3

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$e^{\frac{0}{\tan (0)}}$

خطوة 4.1.3.4

القيمة الدقيقة لـ $\tan (0)$ هي $0$ .

$e^{\frac{0}{0}}$

خطوة 4.1.3.5

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$e^{\frac{0}{0}}$

خطوة 4.1.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$e^{\frac{0}{0}}$

خطوة 4.2

بما أن $\frac{0}{0}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (3 x + 1)}{\frac{1}{\cot (x)}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (3 x + 1)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x)}]}$

خطوة 4.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (3 x + 1)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x)}]}}$

خطوة 4.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = 3 x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $3 x + 1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x + 1]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x)}]}}$

خطوة 4.3.2.2

مشتق $\ln (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x + 1]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x)}]}}$

خطوة 4.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $3 x + 1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{3 x + 1} \frac{d}{d x} [3 x + 1]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x)}]}}$

خطوة 4.3.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{3 x + 1} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x)}]}}$

خطوة 4.3.4

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{3 x + 1} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x)}]}}$

خطوة 4.3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{3 x + 1} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x)}]}}$

خطوة 4.3.6

اضرب $3$ في $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{3 x + 1} (3 + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x)}]}}$

خطوة 4.3.7

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{3 x + 1} (3 + 0)}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x)}]}}$

خطوة 4.3.8

أضف $3$ و $0$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{3 x + 1} \cdot 3}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x)}]}}$

خطوة 4.3.9

اجمع $\frac{1}{3 x + 1}$ و $3$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{3}{3 x + 1}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x)}]}}$

خطوة 4.3.10

أعِد كتابة $\cot (x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{3}{3 x + 1}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}]}}$

خطوة 4.3.11

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{3}{3 x + 1}}{\frac{d}{d x} [1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}]}}$

خطوة 4.3.12

اكتب $1$ على هيئة كسر قاسمه $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{3}{3 x + 1}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}]}}$

خطوة 4.3.13

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.13.1

أعِد كتابة العبارة.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{3}{3 x + 1}}{\frac{d}{d x} [1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}]}}$

خطوة 4.3.13.2

اضرب $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ في $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{3}{3 x + 1}}{\frac{d}{d x} [\frac{\sin (x)}{\cos (x)}]}}$

خطوة 4.3.14

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = \cos (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{3}{3 x + 1}}{\frac{\cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] - \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}}}$

خطوة 4.3.15

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{3}{3 x + 1}}{\frac{\cos (x) \cos (x) - \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}}}$

خطوة 4.3.16

ارفع $\cos (x)$ إلى القوة $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{3}{3 x + 1}}{\frac{\cos^{1} (x) \cos (x) - \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}}}$

خطوة 4.3.17

ارفع $\cos (x)$ إلى القوة $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{3}{3 x + 1}}{\frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) - \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}}}$

خطوة 4.3.18

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{3}{3 x + 1}}{\frac{{\cos (x)}^{1 + 1} - \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}}}$

خطوة 4.3.19

أضف $1$ و $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{3}{3 x + 1}}{\frac{\cos^{2} (x) - \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}}}$

خطوة 4.3.20

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{3}{3 x + 1}}{\frac{\cos^{2} (x) - \sin (x) \cdot - 1 \sin (x)}{\cos^{2} (x)}}}$

خطوة 4.3.21

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{3}{3 x + 1}}{\frac{\cos^{2} (x) + 1 \sin (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}}}$

خطوة 4.3.22

اضرب $\sin (x)$ في $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{3}{3 x + 1}}{\frac{\cos^{2} (x) + \sin (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}}}$

خطوة 4.3.23

ارفع $\sin (x)$ إلى القوة $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{3}{3 x + 1}}{\frac{\cos^{2} (x) + \sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}}}$

خطوة 4.3.24

ارفع $\sin (x)$ إلى القوة $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{3}{3 x + 1}}{\frac{\cos^{2} (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos^{2} (x)}}}$

خطوة 4.3.25

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{3}{3 x + 1}}{\frac{\cos^{2} (x) + {\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos^{2} (x)}}}$

خطوة 4.3.26

أضف $1$ و $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{3}{3 x + 1}}{\frac{\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}}$

خطوة 4.3.27

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.27.1

أعِد ترتيب الحدود.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{3}{3 x + 1}}{\frac{\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}}$

خطوة 4.3.27.2

طبّق متطابقة فيثاغورس.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{3}{3 x + 1}}{\frac{1}{\cos^{2} (x)}}}$

خطوة 4.4

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{3}{3 x + 1} \cos^{2} (x)}$

خطوة 4.5

اجمع $\frac{3}{3 x + 1}$ و $\cos^{2} (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{3 \cos^{2} (x)}{3 x + 1}}$

خطوة 5

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

انقُل الحد $3$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$e^{3 lim_{x \to 0^{+}} \frac{\cos^{2} (x)}{3 x + 1}}$

خطوة 5.2

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة قسمة النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$e^{3 \frac{lim_{x \to 0^{+}} \cos^{2} (x)}{lim_{x \to 0^{+}} 3 x + 1}}$

خطوة 5.3

انقُل الأُس $2$ من $\cos^{2} (x)$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$e^{3 \frac{{(lim_{x \to 0^{+}} \cos (x))}^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} 3 x + 1}}$

خطوة 5.4

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة جيب التمام متصلة.

$e^{3 \frac{\cos^{2} (lim_{x \to 0^{+}} x)}{lim_{x \to 0^{+}} 3 x + 1}}$

خطوة 5.5

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$e^{3 \frac{\cos^{2} (lim_{x \to 0^{+}} x)}{lim_{x \to 0^{+}} 3 x + lim_{x \to 0^{+}} 1}}$

خطوة 5.6

انقُل الحد $3$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$e^{3 \frac{\cos^{2} (lim_{x \to 0^{+}} x)}{3 lim_{x \to 0^{+}} x + lim_{x \to 0^{+}} 1}}$

خطوة 5.7

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $0$ .

$e^{3 \frac{\cos^{2} (lim_{x \to 0^{+}} x)}{3 lim_{x \to 0^{+}} x + 1}}$

خطوة 6

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $x$ بـ $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$e^{3 \frac{\cos^{2} (0)}{3 lim_{x \to 0^{+}} x + 1}}$

خطوة 6.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$e^{3 \frac{\cos^{2} (0)}{3 \cdot 0 + 1}}$

خطوة 7

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$e^{3 \frac{1^{2}}{3 \cdot 0 + 1}}$

خطوة 7.1.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$e^{3 \frac{1}{3 \cdot 0 + 1}}$

خطوة 7.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

اضرب $3$ في $0$ .

$e^{3 \frac{1}{0 + 1}}$

خطوة 7.2.2

أضف $0$ و $1$ .

$e^{3 (\frac{1}{1})}$

خطوة 7.3

ألغِ العامل المشترك لـ $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$e^{3 (\frac{1}{1})}$

خطوة 7.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$e^{3 \cdot 1}$

خطوة 7.4

اضرب $3$ في $1$ .

$e^{3}$