حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \sqrt{x^{2} + 9}$ , $x = 4$

خطوة 1

أوجِد قيمة $y$ المقابلة لـ $x = 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

عوّض بـ $4$ عن $x$ .

$y = \sqrt{{(4)}^{2} + 9}$

خطوة 1.2

بسّط $\sqrt{{(4)}^{2} + 9}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$y = \sqrt{16 + 9}$

خطوة 1.2.2

أضف $16$ و $9$ .

$y = \sqrt{25}$

خطوة 1.2.3

أعِد كتابة $25$ بالصيغة $5^{2}$ .

$y = \sqrt{5^{2}}$

خطوة 1.2.4

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$y = 5$

خطوة 2

أوجِد المشتق الأول واحسِب القيمة عند $x = 4$ و $y = 5$ لإيجاد ميل خط المماس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x^{2} + 9}$ في صورة ${(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ و $g (x) = x^{2} + 9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{2} + 9$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

خطوة 2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2} + 9$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

خطوة 2.3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

خطوة 2.4

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

خطوة 2.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

خطوة 2.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

خطوة 2.6.2

اطرح $2$ من $1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

خطوة 2.7

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

خطوة 2.7.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و ${(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

خطوة 2.7.3

انقُل ${(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

خطوة 2.8

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 9$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9])$

خطوة 2.9

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [9])$

خطوة 2.10

بما أن $9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $9$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0)$

خطوة 2.11

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.11.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} (2 x)$

خطوة 2.11.2

اجمع $2$ و $\frac{1}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} x$

خطوة 2.11.3

اجمع $\frac{2}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ و $x$ .

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 2.11.4

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 2.11.5

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 2.12

احسِب قيمة المشتق في $x = 4$ .

$\frac{4}{{({(4)}^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 2.13

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.13.1

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$\frac{4}{{(16 + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 2.13.2

أضف $16$ و $9$ .

$\frac{4}{25^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 2.13.3

أعِد كتابة $25$ بالصيغة $5^{2}$ .

$\frac{4}{{(5^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 2.13.4

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4}{5^{2 (\frac{1}{2})}}$

خطوة 2.13.5

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.13.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4}{5^{2 (\frac{1}{2})}}$

خطوة 2.13.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{4}{5^{1}}$

خطوة 2.13.6

احسِب قيمة الأُس.

$\frac{4}{5}$

خطوة 3

عوّض بقيمتَي الميل والنقطة في قاعدة ميل النقطة وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

استخدِم الميل $\frac{4}{5}$ ونقطة مُعطاة $(4, 5)$ للتعويض بقيمتَي $x_{1}$ و $y_{1}$ في شكل ميل النقطة $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ ، المشتق من معادلة الميل $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (5) = \frac{4}{5} \cdot (x - (4))$

خطوة 3.2

بسّط المعادلة واتركها بِشكل ميل النقطة.

$y - 5 = \frac{4}{5} \cdot (x - 4)$

خطوة 3.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بسّط $\frac{4}{5} \cdot (x - 4)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1

أعِد الكتابة.

$y - 5 = 0 + 0 + \frac{4}{5} \cdot (x - 4)$

خطوة 3.3.1.2

بسّط بجمع الأصفار.

$y - 5 = \frac{4}{5} \cdot (x - 4)$

خطوة 3.3.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y - 5 = \frac{4}{5} x + \frac{4}{5} \cdot - 4$

خطوة 3.3.1.4

اجمع $\frac{4}{5}$ و $x$ .

$y - 5 = \frac{4 x}{5} + \frac{4}{5} \cdot - 4$

خطوة 3.3.1.5

اضرب $\frac{4}{5} \cdot - 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.5.1

اجمع $\frac{4}{5}$ و $- 4$ .

$y - 5 = \frac{4 x}{5} + \frac{4 \cdot - 4}{5}$

خطوة 3.3.1.5.2

اضرب $4$ في $- 4$ .

$y - 5 = \frac{4 x}{5} + \frac{- 16}{5}$

خطوة 3.3.1.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$y - 5 = \frac{4 x}{5} - \frac{16}{5}$

خطوة 3.3.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

أضف $5$ إلى كلا المتعادلين.

$y = \frac{4 x}{5} - \frac{16}{5} + 5$

خطوة 3.3.2.2

لكتابة $5$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{4 x}{5} - \frac{16}{5} + 5 \cdot \frac{5}{5}$

خطوة 3.3.2.3

اجمع $5$ و $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{4 x}{5} - \frac{16}{5} + \frac{5 \cdot 5}{5}$

خطوة 3.3.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \frac{4 x}{5} + \frac{- 16 + 5 \cdot 5}{5}$

خطوة 3.3.2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.5.1

اضرب $5$ في $5$ .

$y = \frac{4 x}{5} + \frac{- 16 + 25}{5}$

خطوة 3.3.2.5.2

أضف $- 16$ و $25$ .

$y = \frac{4 x}{5} + \frac{9}{5}$

خطوة 3.3.3

أعِد ترتيب الحدود.

$y = \frac{4}{5} x + \frac{9}{5}$

خطوة 4