حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int 4 x^{3} (4 x^{4} + 5) d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = 4 x^{4} + 5$ . إذن $d u = 16 x^{3} d x$ ، لذا $\frac{1}{16} d u = x^{3} d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = 4 x^{4} + 5$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $4 x^{4} + 5$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{4} + 5]$

خطوة 1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 x^{4} + 5$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [5]$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [4 x^{4}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x^{4}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [5]$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$4 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [5]$

خطوة 1.1.3.3

اضرب $4$ في $4$ .

$16 x^{3} + \frac{d}{d x} [5]$

خطوة 1.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $5$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$16 x^{3} + 0$

خطوة 1.1.4.2

أضف $16 x^{3}$ و $0$ .

$16 x^{3}$

خطوة 1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int 4 u \frac{1}{16} d u$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اجمع $\frac{1}{16}$ و $4$ .

$\int \frac{4}{16} u d u$

خطوة 2.2

اجمع $\frac{4}{16}$ و $u$ .

$\int \frac{4 u}{16} d u$

خطوة 2.3

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $16$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أخرِج العامل $4$ من $4 u$ .

$\int \frac{4 (u)}{16} d u$

خطوة 2.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

أخرِج العامل $4$ من $16$ .

$\int \frac{4 u}{4 \cdot 4} d u$

خطوة 2.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\int \frac{4 u}{4 \cdot 4} d u$

خطوة 2.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\int \frac{u}{4} d u$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{4}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{4} \int u d u$

خطوة 4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{2} u^{2} + C)$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أعِد كتابة $\frac{1}{4} (\frac{1}{2} u^{2} + C)$ بالصيغة $\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} u^{2} + C$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} u^{2} + C$

خطوة 5.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

اضرب $\frac{1}{4}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4 \cdot 2} u^{2} + C$

خطوة 5.2.2

اضرب $4$ في $2$ .

$\frac{1}{8} u^{2} + C$

خطوة 6

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $4 x^{4} + 5$ .

$\frac{1}{8} {(4 x^{4} + 5)}^{2} + C$