حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = x^{2} \cos (x)$

خطوة 1

افترض أن $y = f (x)$ ، خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا الطرفين $\ln (y) = \ln (f (x))$ .

$\ln (y) = \ln (x^{2} \cos (x))$

خطوة 2

وسّع الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أعِد كتابة $\ln (x^{2} \cos (x))$ بالصيغة $\ln (x^{2}) + \ln (\cos (x))$ .

$\ln (y) = \ln (x^{2}) + \ln (\cos (x))$

خطوة 2.2

وسّع $\ln (x^{2})$ بنقل $2$ خارج اللوغاريتم.

$\ln (y) = 2 \ln (x) + \ln (\cos (x))$

خطوة 3

أوجِد مشتقة العبارة باستخدام قاعدة السلسلة، مع الأخذ في الاعتبار أن $y$ هو دالة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد مشتقة الطرف الأيسر $\ln (y)$ باستخدام قاعدة السلسلة.

$\frac{y'}{y} = 2 \ln (x) + \ln (\cos (x))$

خطوة 3.2

أوجِد مشتقة الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

أوجِد مشتقة $2 \ln (x) + \ln (\cos (x))$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [2 \ln (x) + \ln (\cos (x))]$

خطوة 3.2.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 \ln (x) + \ln (\cos (x))$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [2 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]$

خطوة 3.2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 \ln (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 \ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{y'}{y} = 2 \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]$

خطوة 3.2.3.2

مشتق $\ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = 2 \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]$

خطوة 3.2.3.3

اجمع $2$ و $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{2}{x} + \frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]$

خطوة 3.2.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.4.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = \cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.4.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\cos (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{2}{x} + \frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

خطوة 3.2.4.1.2

مشتق $\ln (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{2}{x} + \frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

خطوة 3.2.4.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\cos (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{2}{x} + \frac{1}{\cos (x)} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

خطوة 3.2.4.2

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{2}{x} + \frac{1}{\cos (x)} (- \sin (x))$

خطوة 3.2.4.3

حوّل من $\frac{1}{\cos (x)}$ إلى $\sec (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{2}{x} + \sec (x) (- \sin (x))$

خطوة 3.2.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.5.1

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{y'}{y} = - \sec (x) \sin (x) + \frac{2}{x}$

خطوة 3.2.5.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.5.2.1

أعِد كتابة $\sec (x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$\frac{y'}{y} = - \frac{1}{\cos (x)} \sin (x) + \frac{2}{x}$

خطوة 3.2.5.2.2

اجمع $\sin (x)$ و $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{y'}{y} = - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{2}{x}$

خطوة 3.2.5.3

حوّل من $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ إلى $\tan (x)$ .

$\frac{y'}{y} = - \tan (x) + \frac{2}{x}$

خطوة 4

اعزِل $y'$ وعوّض بالدالة الأصلية عن $y$ في الطرف الأيمن.

$y' = (- \tan (x) + \frac{2}{x}) (x^{2} \cos (x))$

خطوة 5

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أعِد كتابة $\tan (x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$y' = (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{2}{x}) (x^{2} \cos (x))$

خطوة 5.2

طبّق خاصية التوزيع.

$y' = - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (x^{2} \cos (x)) + \frac{2}{x} (x^{2} \cos (x))$

خطوة 5.3

ألغِ العامل المشترك لـ $\cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ إلى بسط الكسر.

$y' = \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} (x^{2} \cos (x)) + \frac{2}{x} (x^{2} \cos (x))$

خطوة 5.3.2

أخرِج العامل $\cos (x)$ من $x^{2} \cos (x)$ .

$y' = \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} (\cos (x) x^{2}) + \frac{2}{x} (x^{2} \cos (x))$

خطوة 5.3.3

ألغِ العامل المشترك.

$y' = \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} (\cos (x) x^{2}) + \frac{2}{x} (x^{2} \cos (x))$

خطوة 5.3.4

أعِد كتابة العبارة.

$y' = - \sin (x) x^{2} + \frac{2}{x} (x^{2} \cos (x))$

خطوة 5.4

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2} \cos (x)$ .

$y' = - \sin (x) x^{2} + \frac{2}{x} (x (x \cos (x)))$

خطوة 5.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$y' = - \sin (x) x^{2} + \frac{2}{x} (x (x \cos (x)))$

خطوة 5.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$y' = - \sin (x) x^{2} + 2 (x \cos (x))$

خطوة 5.5

أعِد ترتيب العوامل في $- \sin (x) x^{2} + 2 x \cos (x)$ .

$y' = - x^{2} \sin (x) + 2 x \cos (x)$