حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{e}^{\infty} \frac{1}{x \ln^{2} (x)} d x$

خطوة 1

اكتب التكامل في صورة نهاية عند اقتراب $t$ من $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{e}^{t} \frac{1}{x \ln^{2} (x)} d x$

خطوة 2

لنفترض أن $u = \ln (x)$ . إذن $d u = \frac{1}{x} d x$ ، لذا $x d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

افترض أن $u = \ln (x)$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد مشتقة $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

خطوة 2.1.2

مشتق $\ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

خطوة 2.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = \ln (x)$ .

$u_{lower} = \ln (e)$

خطوة 2.3

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$u_{lower} = 1$

خطوة 2.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = \ln (x)$ .

$u_{upper} = \ln (t)$

خطوة 2.5

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \ln (t)$

خطوة 2.6

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{\ln (t)} \frac{1}{u^{2}} d u$

خطوة 3

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

انقُل $u^{2}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{\ln (t)} {(u^{2})}^{- 1} d u$

خطوة 3.2

اضرب الأُسس في ${(u^{2})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{\ln (t)} u^{2 \cdot - 1} d u$

خطوة 3.2.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{\ln (t)} u^{- 2} d u$

خطوة 4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{- 2}$ بالنسبة إلى $u$ هو $- u^{- 1}$ .

$lim_{t \to \infty} - u^{- 1}]_{1}^{\ln (t)}$

خطوة 5

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

احسِب قيمة $- u^{- 1}$ في $\ln (t)$ وفي $1$ .

$lim_{t \to \infty} (- \ln^{- 1} (t)) + 1^{- 1}$

خطوة 5.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$lim_{t \to \infty} - \ln^{- 1} (t) + 1$

خطوة 6

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $t$ من $\infty$ .

$- lim_{t \to \infty} \ln^{- 1} (t) + lim_{t \to \infty} 1$

خطوة 6.2

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- lim_{t \to \infty} \frac{1}{\ln (t)} + lim_{t \to \infty} 1$

خطوة 6.3

بما أن بسط الكسر يقترب من عدد حقيقي بينما يُعد قاسمه غير محدود، إذن الكسر $\frac{1}{\ln (t)}$ يقترب من $0$ .

$- 0 + lim_{t \to \infty} 1$

خطوة 6.4

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $t$ من $\infty$ .

$0 + 1$

خطوة 6.4.2

أضف $0$ و $1$ .

$1$