حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \frac{x^{2} + b^{2}}{x^{2} - b^{2}}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x^{2} + b^{2}$ و $g (x) = x^{2} - b^{2}$ .

$\frac{(x^{2} - b^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + b^{2}] - (x^{2} + b^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} - b^{2}]}{{(x^{2} - b^{2})}^{2}}$

خطوة 2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + b^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [b^{2}]$ .

$\frac{(x^{2} - b^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [b^{2}]) - (x^{2} + b^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} - b^{2}]}{{(x^{2} - b^{2})}^{2}}$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} - b^{2}) (2 x + \frac{d}{d x} [b^{2}]) - (x^{2} + b^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} - b^{2}]}{{(x^{2} - b^{2})}^{2}}$

خطوة 2.3

بما أن $b^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $b^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{(x^{2} - b^{2}) (2 x + 0) - (x^{2} + b^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} - b^{2}]}{{(x^{2} - b^{2})}^{2}}$

خطوة 2.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$\frac{(x^{2} - b^{2}) (2 x) - (x^{2} + b^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} - b^{2}]}{{(x^{2} - b^{2})}^{2}}$

خطوة 2.4.2

انقُل $2$ إلى يسار $x^{2} - b^{2}$ .

$\frac{2 \cdot (x^{2} - b^{2}) x - (x^{2} + b^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} - b^{2}]}{{(x^{2} - b^{2})}^{2}}$

خطوة 2.5

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} - b^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- b^{2}]$ .

$\frac{2 (x^{2} - b^{2}) x - (x^{2} + b^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- b^{2}])}{{(x^{2} - b^{2})}^{2}}$

خطوة 2.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{2 (x^{2} - b^{2}) x - (x^{2} + b^{2}) (2 x + \frac{d}{d x} [- b^{2}])}{{(x^{2} - b^{2})}^{2}}$

خطوة 2.7

بما أن $- b^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- b^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{2 (x^{2} - b^{2}) x - (x^{2} + b^{2}) (2 x + 0)}{{(x^{2} - b^{2})}^{2}}$

خطوة 2.8

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$\frac{2 (x^{2} - b^{2}) x - (x^{2} + b^{2}) (2 x)}{{(x^{2} - b^{2})}^{2}}$

خطوة 2.8.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{2 (x^{2} - b^{2}) x - 2 (x^{2} + b^{2}) x}{{(x^{2} - b^{2})}^{2}}$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{(2 x^{2} + 2 (- b^{2})) x - 2 (x^{2} + b^{2}) x}{{(x^{2} - b^{2})}^{2}}$

خطوة 3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 x^{2} x + 2 (- b^{2}) x - 2 (x^{2} + b^{2}) x}{{(x^{2} - b^{2})}^{2}}$

خطوة 3.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 x^{2} x + 2 (- b^{2}) x + (- 2 x^{2} - 2 b^{2}) x}{{(x^{2} - b^{2})}^{2}}$

خطوة 3.4

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 x^{2} x + 2 (- b^{2}) x - 2 x^{2} x - 2 b^{2} x}{{(x^{2} - b^{2})}^{2}}$

خطوة 3.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

جمّع الحدود المتعاكسة في $2 x^{2} x + 2 (- b^{2}) x - 2 x^{2} x - 2 b^{2} x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1.1

اطرح $2 x^{2} x$ من $2 x^{2} x$ .

$\frac{2 (- b^{2}) x + 0 - 2 b^{2} x}{{(x^{2} - b^{2})}^{2}}$

خطوة 3.5.1.2

أضف $2 (- b^{2}) x$ و $0$ .

$\frac{2 (- b^{2}) x - 2 b^{2} x}{{(x^{2} - b^{2})}^{2}}$

خطوة 3.5.2

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{- 2 b^{2} x - 2 b^{2} x}{{(x^{2} - b^{2})}^{2}}$

خطوة 3.5.3

اطرح $2 b^{2} x$ من $- 2 b^{2} x$ .

$\frac{- 4 b^{2} x}{{(x^{2} - b^{2})}^{2}}$

خطوة 3.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{4 b^{2} x}{{(x^{2} - b^{2})}^{2}}$

خطوة 3.7

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = x$ و $b = b$ .

$- \frac{4 b^{2} x}{{((x + b) (x - b))}^{2}}$

خطوة 3.7.2

طبّق قاعدة الضرب على $(x + b) (x - b)$ .

$- \frac{4 b^{2} x}{{(x + b)}^{2} {(x - b)}^{2}}$