حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \ln (2 x + 1) d x$

خطوة 1

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = \ln (2 x + 1)$ و $d v = 1$ .

$\ln (2 x + 1) x - \int x \frac{2}{2 x + 1} d x$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اجمع $x$ و $\frac{2}{2 x + 1}$ .

$\ln (2 x + 1) x - \int \frac{x \cdot 2}{2 x + 1} d x$

خطوة 2.2

انقُل $2$ إلى يسار $x$ .

$\ln (2 x + 1) x - \int \frac{2 x}{2 x + 1} d x$

خطوة 3

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$\ln (2 x + 1) x - (2 \int \frac{x}{2 x + 1} d x)$

خطوة 4

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\ln (2 x + 1) x - 2 \int \frac{x}{2 x + 1} d x$

خطوة 5

اقسِم $x$ على $2 x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$2 x$

$1$

$x$

$0$

خطوة 5.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $x$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $2 x$ .

					$\frac{1}{2}$
	$2 x$	+	$1$		$x$	+	$0$

خطوة 5.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$\frac{1}{2}$
$2 x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			+	$x$	+	$\frac{1}{2}$

خطوة 5.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $x + \frac{1}{2}$

				$\frac{1}{2}$
$2 x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$\frac{1}{2}$

خطوة 5.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$\frac{1}{2}$
$2 x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$\frac{1}{2}$
					-	$\frac{1}{2}$

خطوة 5.6

الإجابة النهائية هي ناتج القسمة زائد الباقي على المقسوم عليه.

$\ln (2 x + 1) x - 2 \int \frac{1}{2} - \frac{1}{2 (2 x + 1)} d x$

خطوة 6

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\int \frac{1}{2} d x + \int - \frac{1}{2 (2 x + 1)} d x)$

خطوة 7

طبّق قاعدة الثابت.

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{1}{2} x + C + \int - \frac{1}{2 (2 x + 1)} d x)$

خطوة 8

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{1}{2} x + C - \int \frac{1}{2 (2 x + 1)} d x)$

خطوة 9

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{1}{2} x + C - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{2 x + 1} d x))$

خطوة 10

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x$ .

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{x}{2} + C - \frac{1}{2} \int \frac{1}{2 x + 1} d x)$

خطوة 11

لنفترض أن $u = 2 x + 1$ . إذن $d u = 2 d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

افترض أن $u = 2 x + 1$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1.1

أوجِد مشتقة $2 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

خطوة 11.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 11.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1.3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 11.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 11.1.3.3

اضرب $2$ في $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 11.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1.4.1

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$2 + 0$

خطوة 11.1.4.2

أضف $2$ و $0$ .

$2$

خطوة 11.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{x}{2} + C - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u)$

خطوة 12

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

اضرب $\frac{1}{u}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{x}{2} + C - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u \cdot 2} d u)$

خطوة 12.2

انقُل $2$ إلى يسار $u$ .

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{x}{2} + C - \frac{1}{2} \int \frac{1}{2 u} d u)$

خطوة 13

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{x}{2} + C - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u))$

خطوة 14

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{x}{2} + C - \frac{1}{2 \cdot 2} \int \frac{1}{u} d u)$

خطوة 14.2

اضرب $2$ في $2$ .

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{x}{2} + C - \frac{1}{4} \int \frac{1}{u} d u)$

خطوة 15

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{x}{2} + C - \frac{1}{4} (\ln (| u |) + C))$

خطوة 16

بسّط.

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \ln (| u |)) + C$

خطوة 17

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x + 1$ .

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \ln (| 2 x + 1 |)) + C$

خطوة 18

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.1.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x$ .

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{x}{2} - \frac{1}{4} \ln (| 2 x + 1 |)) + C$

خطوة 18.1.2

اجمع $\ln (| 2 x + 1 |)$ و $\frac{1}{4}$ .

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{x}{2} - \frac{\ln (| 2 x + 1 |)}{4}) + C$

خطوة 18.2

لكتابة $\frac{x}{2}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{x}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{\ln (| 2 x + 1 |)}{4}) + C$

خطوة 18.3

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $4$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.3.1

اضرب $\frac{x}{2}$ في $\frac{2}{2}$ .

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{x \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{\ln (| 2 x + 1 |)}{4}) + C$

خطوة 18.3.2

اضرب $2$ في $2$ .

$\ln (2 x + 1) x - 2 (\frac{x \cdot 2}{4} - \frac{\ln (| 2 x + 1 |)}{4}) + C$

خطوة 18.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\ln (2 x + 1) x - 2 \frac{x \cdot 2 - \ln (| 2 x + 1 |)}{4} + C$

خطوة 18.5

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.5.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$\ln (2 x + 1) x + 2 (- 1) \frac{x \cdot 2 - \ln (| 2 x + 1 |)}{4} + C$

خطوة 18.5.2

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$\ln (2 x + 1) x + 2 \cdot - 1 \frac{x \cdot 2 - \ln (| 2 x + 1 |)}{2 \cdot 2} + C$

خطوة 18.5.3

ألغِ العامل المشترك.

$\ln (2 x + 1) x + 2 \cdot - 1 \frac{x \cdot 2 - \ln (| 2 x + 1 |)}{2 \cdot 2} + C$

خطوة 18.5.4

أعِد كتابة العبارة.

$\ln (2 x + 1) x - \frac{x \cdot 2 - \ln (| 2 x + 1 |)}{2} + C$

خطوة 18.6

انقُل $2$ إلى يسار $x$ .

$\ln (2 x + 1) x - \frac{2 x - \ln (| 2 x + 1 |)}{2} + C$

خطوة 19

أعِد ترتيب الحدود.

$\ln (2 x + 1) x - \frac{1}{2} (2 x - \ln (| 2 x + 1 |)) + C$

خطوة 20

أعِد كتابة $\ln (2 x + 1) x - \frac{1}{2} (2 x - \ln (| 2 x + 1 |)) + C$ بالصيغة $\ln (2 x + 1) x - 1 x + \frac{\ln (| 2 x + 1 |)}{2} + C$ .

$\ln (2 x + 1) x - 1 x + \frac{\ln (| 2 x + 1 |)}{2} + C$

خطوة 21

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 21.1

أعِد كتابة $- 1 x$ بالصيغة $- x$ .

$\ln (2 x + 1) x - x + \frac{\ln (| 2 x + 1 |)}{2} + C$

خطوة 21.2

لكتابة $- x$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\ln (2 x + 1) x - x \cdot \frac{2}{2} + \frac{\ln (| 2 x + 1 |)}{2} + C$

خطوة 21.3

اجمع $- x$ و $\frac{2}{2}$ .

$\ln (2 x + 1) x + \frac{- x \cdot 2}{2} + \frac{\ln (| 2 x + 1 |)}{2} + C$

خطوة 21.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\ln (2 x + 1) x + \frac{- x \cdot 2 + \ln (| 2 x + 1 |)}{2} + C$

خطوة 21.5

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\ln (2 x + 1) x + \frac{- 2 x + \ln (| 2 x + 1 |)}{2} + C$

خطوة 21.6

جمّع $\ln (2 x + 1) x$ و $\frac{- 2 x + \ln (| 2 x + 1 |)}{2}$ باستخدام قاسم مشترك.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 21.6.1

أعِد ترتيب $\ln (2 x + 1)$ و $x$ .

$x \ln (2 x + 1) + \frac{- 2 x + \ln (| 2 x + 1 |)}{2} + C$

خطوة 21.6.2

لكتابة $x \ln (2 x + 1)$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$x \ln (2 x + 1) \cdot \frac{2}{2} + \frac{- 2 x + \ln (| 2 x + 1 |)}{2} + C$

خطوة 21.6.3

اجمع $x \ln (2 x + 1)$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x \ln (2 x + 1) \cdot 2}{2} + \frac{- 2 x + \ln (| 2 x + 1 |)}{2} + C$

خطوة 21.6.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{x \ln (2 x + 1) \cdot 2 - 2 x + \ln (| 2 x + 1 |)}{2} + C$

خطوة 21.7

انقُل $2$ إلى يسار $x \ln (2 x + 1)$ .

$\frac{2 x \ln (2 x + 1) - 2 x + \ln (| 2 x + 1 |)}{2} + C$

خطوة 22

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{2} (2 x \ln (2 x + 1) - 2 x + \ln (| 2 x + 1 |)) + C$