حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x^{2} y + 2 y^{3} = 3 x + 2 y$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (x^{2} y + 2 y^{3}) = \frac{d}{d x} (3 x + 2 y)$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} y + 2 y^{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = y$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$

خطوة 2.2.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$

خطوة 2.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$x^{2} y' + y (2 x) + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$

خطوة 2.2.4

انقُل $2$ إلى يسار $y$ .

$x^{2} y' + 2 y x + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 y^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 y^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$x^{2} y' + 2 y x + 2 \frac{d}{d x} [y^{3}]$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{3}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$x^{2} y' + 2 y x + 2 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 2.3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$x^{2} y' + 2 y x + 2 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 2.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$x^{2} y' + 2 y x + 2 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 2.3.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$x^{2} y' + 2 y x + 2 (3 y^{2} y')$

خطوة 2.3.4

اضرب $3$ في $2$ .

$x^{2} y' + 2 y x + 6 y^{2} y'$

خطوة 2.4

أعِد ترتيب الحدود.

$x^{2} y' + 2 x y + 6 y^{2} y'$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 x + 2 y$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2 y]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2 y]$

خطوة 3.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y]$

خطوة 3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 y]$

خطوة 3.2.3

اضرب $3$ في $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [2 y]$

خطوة 3.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [y]$ .

$3 + 2 \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 3.3.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$3 + 2 y'$

خطوة 3.4

أعِد ترتيب الحدود.

$2 y' + 3$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$x^{2} y' + 2 x y + 6 y^{2} y' = 2 y' + 3$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اطرح $2 y'$ من كلا المتعادلين.

$x^{2} y' + 2 x y + 6 y^{2} y' - 2 y' = 3$

خطوة 5.2

اطرح $2 x y$ من كلا المتعادلين.

$x^{2} y' + 6 y^{2} y' - 2 y' = 3 - 2 x y$

خطوة 5.3

أخرِج العامل $y'$ من $x^{2} y' + 6 y^{2} y' - 2 y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

أخرِج العامل $y'$ من $x^{2} y'$ .

$y' x^{2} + 6 y^{2} y' - 2 y' = 3 - 2 x y$

خطوة 5.3.2

أخرِج العامل $y'$ من $6 y^{2} y'$ .

$y' (x^{2}) + y' (6 y^{2}) - 2 y' = 3 - 2 x y$

خطوة 5.3.3

أخرِج العامل $y'$ من $- 2 y'$ .

$y' (x^{2}) + y' (6 y^{2}) + y' \cdot - 2 = 3 - 2 x y$

خطوة 5.3.4

أخرِج العامل $y'$ من $y' (x^{2}) + y' (6 y^{2})$ .

$y' (x^{2} + 6 y^{2}) + y' \cdot - 2 = 3 - 2 x y$

خطوة 5.3.5

أخرِج العامل $y'$ من $y' (x^{2} + 6 y^{2}) + y' \cdot - 2$ .

$y' (x^{2} + 6 y^{2} - 2) = 3 - 2 x y$

خطوة 5.4

اقسِم كل حد في $y' (x^{2} + 6 y^{2} - 2) = 3 - 2 x y$ على $x^{2} + 6 y^{2} - 2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

اقسِم كل حد في $y' (x^{2} + 6 y^{2} - 2) = 3 - 2 x y$ على $x^{2} + 6 y^{2} - 2$ .

$\frac{y' (x^{2} + 6 y^{2} - 2)}{x^{2} + 6 y^{2} - 2} = \frac{3}{x^{2} + 6 y^{2} - 2} + \frac{- 2 x y}{x^{2} + 6 y^{2} - 2}$

خطوة 5.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2} + 6 y^{2} - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (x^{2} + 6 y^{2} - 2)}{x^{2} + 6 y^{2} - 2} = \frac{3}{x^{2} + 6 y^{2} - 2} + \frac{- 2 x y}{x^{2} + 6 y^{2} - 2}$

خطوة 5.4.2.1.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{3}{x^{2} + 6 y^{2} - 2} + \frac{- 2 x y}{x^{2} + 6 y^{2} - 2}$

خطوة 5.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y' = \frac{3 - 2 x y}{x^{2} + 6 y^{2} - 2}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 - 2 x y}{x^{2} + 6 y^{2} - 2}$