حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x \sqrt{2 x - 1} d x$

خطوة 1

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = x$ و $d v = \sqrt{2 x - 1}$ .

$x (\frac{1}{3} {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{1}{3} {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} d x$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اجمع $\frac{1}{3}$ و ${(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

$x \frac{{(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{1}{3} {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} d x$

خطوة 2.2

اجمع $x$ و $\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$\frac{x {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{1}{3} {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} d x$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{3}$ خارج التكامل.

$\frac{x {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{1}{3} \int {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} d x)$

خطوة 4

لنفترض أن $u = 2 x - 1$ . إذن $d u = 2 d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

افترض أن $u = 2 x - 1$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

أوجِد مشتقة $2 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x - 1]$

خطوة 4.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 4.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 4.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 4.1.3.3

اضرب $2$ في $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 4.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.4.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$2 + 0$

خطوة 4.1.4.2

أضف $2$ و $0$ .

$2$

خطوة 4.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\frac{x {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{3} \int u^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} d u$

خطوة 5

اجمع $u^{\frac{3}{2}}$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{3} \int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u$

خطوة 6

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{x {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \int u^{\frac{3}{2}} d u)$

خطوة 7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{1}{3}$ .

$\frac{x {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2 \cdot 3} \int u^{\frac{3}{2}} d u$

خطوة 7.2

اضرب $2$ في $3$ .

$\frac{x {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{6} \int u^{\frac{3}{2}} d u$

خطوة 8

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{\frac{3}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{x {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{6} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C)$

خطوة 9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

أعِد كتابة $\frac{x {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{6} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C)$ بالصيغة $\frac{1}{3} x {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{6} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$ .

$\frac{1}{3} x {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{6} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$

خطوة 9.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

اجمع $\frac{1}{3}$ و $x$ .

$\frac{x}{3} {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{6} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$

خطوة 9.2.2

اجمع $\frac{x}{3}$ و ${(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{x {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{6} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$

خطوة 9.2.3

اضرب $\frac{2}{5}$ في $\frac{1}{6}$ .

$\frac{x {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{5 \cdot 6} u^{\frac{5}{2}} + C$

خطوة 9.2.4

اضرب $5$ في $6$ .

$\frac{x {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{30} u^{\frac{5}{2}} + C$

خطوة 9.2.5

احذِف العامل المشترك لـ $2$ و $30$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.5.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{x {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 (1)}{30} u^{\frac{5}{2}} + C$

خطوة 9.2.5.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.5.2.1

أخرِج العامل $2$ من $30$ .

$\frac{x {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 15} u^{\frac{5}{2}} + C$

خطوة 9.2.5.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 15} u^{\frac{5}{2}} + C$

خطوة 9.2.5.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{x {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{15} u^{\frac{5}{2}} + C$

خطوة 9.2.6

لكتابة $- \frac{1}{15} u^{\frac{5}{2}}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{15} u^{\frac{5}{2}} \cdot \frac{3}{3} + C$

خطوة 9.2.7

اجمع $- \frac{1}{15} u^{\frac{5}{2}}$ و $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- \frac{1}{15} u^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{3} + C$

خطوة 9.2.8

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{x {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{15} u^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{3} + C$

خطوة 9.2.9

اجمع $u^{\frac{5}{2}}$ و $\frac{1}{15}$ .

$\frac{x {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{u^{\frac{5}{2}}}{15} \cdot 3}{3} + C$

خطوة 9.2.10

اضرب $3$ في $- 1$ .

$\frac{x {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} - 3 \frac{u^{\frac{5}{2}}}{15}}{3} + C$

خطوة 9.2.11

اجمع $- 3$ و $\frac{u^{\frac{5}{2}}}{15}$ .

$\frac{x {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 3 u^{\frac{5}{2}}}{15}}{3} + C$

خطوة 9.2.12

أخرِج العامل $3$ من $- 3 u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{x {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 (- u^{\frac{5}{2}})}{15}}{3} + C$

خطوة 9.2.13

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.13.1

أخرِج العامل $3$ من $15$ .

$\frac{x {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 (- u^{\frac{5}{2}})}{3 (5)}}{3} + C$

خطوة 9.2.13.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 (- u^{\frac{5}{2}})}{3 \cdot 5}}{3} + C$

خطوة 9.2.13.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{x {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3} + C$

خطوة 9.2.14

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{x {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3} + C$

خطوة 9.2.15

لكتابة $x {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{5}{5}$ .

$\frac{x {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{5}{5} - \frac{u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3} + C$

خطوة 9.2.16

اجمع $x {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}$ و $\frac{5}{5}$ .

$\frac{\frac{x {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{5} - \frac{u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3} + C$

خطوة 9.2.17

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{\frac{x {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5 - u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3} + C$

خطوة 9.2.18

انقُل $5$ إلى يسار $x {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{\frac{5 \cdot (x {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}) - u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3} + C$

خطوة 9.2.19

أعِد كتابة $\frac{\frac{5 x {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} - u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3}$ في صورة حاصل ضرب.

$\frac{5 x {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} - u^{\frac{5}{2}}}{5} \cdot \frac{1}{3} + C$

خطوة 9.2.20

اضرب $\frac{5 x {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} - u^{\frac{5}{2}}}{5}$ في $\frac{1}{3}$ .

$\frac{5 x {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} - u^{\frac{5}{2}}}{5 \cdot 3} + C$

خطوة 9.2.21

اضرب $5$ في $3$ .

$\frac{5 x {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} - u^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

خطوة 10

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x - 1$ .

$\frac{5 x {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} - {(2 x - 1)}^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

خطوة 11

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{15} (5 x {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} - {(2 x - 1)}^{\frac{5}{2}}) + C$