حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{2 x}{x^{2} + y^{2}}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة المضاعف الثابت.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

بما أن $2 x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $\frac{2 x}{x^{2} + y^{2}}$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $2 x \frac{d}{d y} [\frac{1}{x^{2} + y^{2}}]$ .

$2 x \frac{d}{d y} [\frac{1}{x^{2} + y^{2}}]$

خطوة 1.2

أعِد كتابة $\frac{1}{x^{2} + y^{2}}$ بالصيغة ${(x^{2} + y^{2})}^{- 1}$ .

$2 x \frac{d}{d y} [{(x^{2} + y^{2})}^{- 1}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ هو $f' (g (y)) g' (y)$ حيث $f (y) = y^{- 1}$ و $g (y) = x^{2} + y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{2} + y^{2}$ .

$2 x (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}])$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$2 x (- u^{- 2} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}])$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2} + y^{2}$ .

$2 x (- {(x^{2} + y^{2})}^{- 2} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}])$

خطوة 3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$- 2 x ({(x^{2} + y^{2})}^{- 2} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}])$

خطوة 3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + y^{2}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$- 2 x ({(x^{2} + y^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]))$

خطوة 3.3

بما أن $x^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $x^{2}$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$- 2 x ({(x^{2} + y^{2})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d y} [y^{2}]))$

خطوة 3.4

أضف $0$ و $\frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$- 2 x ({(x^{2} + y^{2})}^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}])$

خطوة 3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$- 2 x ({(x^{2} + y^{2})}^{- 2} (2 y))$

خطوة 3.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

انقُل $2$ إلى يسار ${(x^{2} + y^{2})}^{- 2}$ .

$- 2 x (2 \cdot {(x^{2} + y^{2})}^{- 2} y)$

خطوة 3.6.2

اضرب $2$ في $- 2$ .

$- 4 x ({(x^{2} + y^{2})}^{- 2} y)$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 4 x (\frac{1}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} y)$

خطوة 4.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

اجمع $\frac{1}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$ و $y$ .

$- 4 x \frac{y}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

خطوة 4.2.2

اجمع $- 4$ و $\frac{y}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$ .

$x \frac{- 4 y}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

خطوة 4.2.3

اجمع $x$ و $\frac{- 4 y}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$ .

$\frac{x (- 4 y)}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

خطوة 4.2.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{x \cdot 4 y}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

خطوة 4.2.5

انقُل $4$ إلى يسار $x$ .

$- \frac{4 x y}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$