حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \sqrt{x^{2} + 4} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $x = 2 \tan (t)$ ، حيث $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . إذن $d x = 2 \sec^{2} (t) d t$ . لاحظ أنه نظرًا إلى أن $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ، إذن تُعد $2 \sec^{2} (t)$ موجبة.

$\int \sqrt{{(2 \tan (t))}^{2} + 4} (2 \sec^{2} (t)) d t$

خطوة 2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بسّط $\sqrt{{(2 \tan (t))}^{2} + 4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $2 \tan (t)$ .

$\int \sqrt{2^{2} \tan^{2} (t) + 4} (2 \sec^{2} (t)) d t$

خطوة 2.1.1.2

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$\int \sqrt{4 \tan^{2} (t) + 4} (2 \sec^{2} (t)) d t$

خطوة 2.1.2

أخرِج العامل $4$ من $4 \tan^{2} (t) + 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

أخرِج العامل $4$ من $4 \tan^{2} (t)$ .

$\int \sqrt{4 (\tan^{2} (t)) + 4} (2 \sec^{2} (t)) d t$

خطوة 2.1.2.2

أخرِج العامل $4$ من $4$ .

$\int \sqrt{4 (\tan^{2} (t)) + 4 (1)} (2 \sec^{2} (t)) d t$

خطوة 2.1.2.3

أخرِج العامل $4$ من $4 (\tan^{2} (t)) + 4 (1)$ .

$\int \sqrt{4 (\tan^{2} (t) + 1)} (2 \sec^{2} (t)) d t$

خطوة 2.1.3

طبّق متطابقة فيثاغورس.

$\int \sqrt{4 \sec^{2} (t)} (2 \sec^{2} (t)) d t$

خطوة 2.1.4

أعِد كتابة $4 \sec^{2} (t)$ بالصيغة ${(2 \sec (t))}^{2}$ .

$\int \sqrt{{(2 \sec (t))}^{2}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

خطوة 2.1.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$\int 2 \sec (t) (2 \sec^{2} (t)) d t$

خطوة 2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

اضرب $2$ في $2$ .

$\int 4 \sec (t) \sec^{2} (t) d t$

خطوة 2.2.2

اضرب $\sec (t)$ في $\sec^{2} (t)$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

انقُل $\sec^{2} (t)$ .

$\int 4 (\sec^{2} (t) \sec (t)) d t$

خطوة 2.2.2.2

اضرب $\sec^{2} (t)$ في $\sec (t)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.2.1

ارفع $\sec (t)$ إلى القوة $1$ .

$\int 4 (\sec^{2} (t) \sec^{1} (t)) d t$

خطوة 2.2.2.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int 4 {\sec (t)}^{2 + 1} d t$

خطوة 2.2.2.3

أضف $2$ و $1$ .

$\int 4 \sec^{3} (t) d t$

خطوة 3

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $4$ خارج التكامل.

$4 \int \sec^{3} (t) d t$

خطوة 4

أخرِج العامل $\sec (t)$ من $\sec^{3} (t)$ .

$4 \int \sec (t) \sec^{2} (t) d t$

خطوة 5

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = \sec (t)$ و $d v = \sec^{2} (t)$ .

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int \tan (t) (\sec (t) \tan (t)) d t)$

خطوة 6

ارفع $\tan (t)$ إلى القوة $1$ .

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan (t) \sec (t) d t)$

خطوة 7

ارفع $\tan (t)$ إلى القوة $1$ .

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan^{1} (t) \sec (t) d t)$

خطوة 8

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int {\tan (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t)$

خطوة 9

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

أضف $1$ و $1$ .

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{2} (t) \sec (t) d t)$

خطوة 9.2

أعِد ترتيب $\tan^{2} (t)$ و $\sec (t)$ .

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \tan^{2} (t) d t)$

خطوة 10

باستخدام متطابقة فيثاغورس، أعِد كتابة $\tan^{2} (t)$ بحيث تصبح $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec^{2} (t)) d t)$

خطوة 11

بسّط بالضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

أعِد كتابة الأُس في صورة حاصل ضرب.

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec (t) \sec (t)) d t)$

خطوة 11.2

طبّق خاصية التوزيع.

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \cdot - 1 + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t)$

خطوة 11.3

أعِد ترتيب $\sec (t)$ و $- 1$ .

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \cdot \sec (t) + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t)$

خطوة 12

ارفع $\sec (t)$ إلى القوة $1$ .

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec (t) \sec (t) d t)$

خطوة 13

ارفع $\sec (t)$ إلى القوة $1$ .

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec^{1} (t) \sec (t) d t)$

خطوة 14

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t)$

خطوة 15

أضف $1$ و $1$ .

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec (t) d t)$

خطوة 16

ارفع $\sec (t)$ إلى القوة $1$ .

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec^{1} (t) d t)$

خطوة 17

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{2 + 1} d t)$

خطوة 18

أضف $2$ و $1$ .

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{3} (t) d t)$

خطوة 19

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$4 (\sec (t) \tan (t) - (\int - 1 \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t))$

خطوة 20

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$4 (\sec (t) \tan (t) - (- \int \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t))$

خطوة 21

تكامل $\sec (t)$ بالنسبة إلى $t$ هو $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$4 (\sec (t) \tan (t) - (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec^{3} (t) d t))$

خطوة 22

بسّط بالضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 22.1

طبّق خاصية التوزيع.

$4 (\sec (t) \tan (t) - - (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t)$

خطوة 22.2

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$4 (\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t)$

خطوة 23

بإيجاد قيمة $\int \sec^{3} (t) d t$ ، وجدنا أن $\int \sec^{3} (t) d t$ = $\frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2}$ .

$4 (\frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2} + C)$

خطوة 24

اضرب $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$ في $1$ .

$4 (\frac{\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C}{2} + C)$

خطوة 25

بسّط.

$4 (\frac{1}{2}) (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

خطوة 26

أعِد كتابة $4 (\frac{1}{2}) (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$ بالصيغة $2 (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$ .

$2 (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

خطوة 27

استبدِل كافة حالات حدوث $t$ بـ $\arctan (\frac{x}{2})$ .

$2 (\sec (\arctan (\frac{x}{2})) \tan (\arctan (\frac{x}{2})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

خطوة 28

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 28.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 28.1.1

ارسم مثلثًا في المستوى تقع رؤوسه عند النقطتين $(1, \frac{x}{2})$ و $(1, 0)$ ونقطة الأصل. ومن ثمَّ، $\arctan (\frac{x}{2})$ هي الزاوية المحصورة بين الاتجاه الموجب للمحور السيني الموجب والشعاع الذي يبدأ من نقطة الأصل ويمر عبر $(1, \frac{x}{2})$ . إذن، $\sec (\arctan (\frac{x}{2}))$ تساوي $\sqrt{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}}$ .

$2 (\sqrt{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}} \tan (\arctan (\frac{x}{2})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

خطوة 28.1.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{x}{2}$ .

$2 (\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{2^{2}}} \tan (\arctan (\frac{x}{2})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

خطوة 28.1.3

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$2 (\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{4}} \tan (\arctan (\frac{x}{2})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

خطوة 28.1.4

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$2 (\sqrt{\frac{4}{4} + \frac{x^{2}}{4}} \tan (\arctan (\frac{x}{2})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

خطوة 28.1.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$2 (\sqrt{\frac{4 + x^{2}}{4}} \tan (\arctan (\frac{x}{2})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

خطوة 28.1.6

أعِد كتابة $\frac{4 + x^{2}}{4}$ بالصيغة ${(\frac{1}{2})}^{2} (4 + x^{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 28.1.6.1

أخرِج عامل القوة الكاملة $1^{2}$ من $4 + x^{2}$ .

$2 (\sqrt{\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{4}} \tan (\arctan (\frac{x}{2})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

خطوة 28.1.6.2

أخرِج عامل القوة الكاملة $2^{2}$ من $4$ .

$2 (\sqrt{\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{2^{2} \cdot 1}} \tan (\arctan (\frac{x}{2})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

خطوة 28.1.6.3

أعِد ترتيب الكسر $\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{2^{2} \cdot 1}$ .

$2 (\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (4 + x^{2})} \tan (\arctan (\frac{x}{2})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

خطوة 28.1.7

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$2 (\frac{1}{2} \sqrt{4 + x^{2}} \tan (\arctan (\frac{x}{2})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

خطوة 28.1.8

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\sqrt{4 + x^{2}}$ .

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} \tan (\arctan (\frac{x}{2})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

خطوة 28.1.9

تُعد دالتا المماس وقوس الظل دالتين متعاكستين.

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} \cdot \frac{x}{2} + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

خطوة 28.1.10

اجمع.

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{2 \cdot 2} + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

خطوة 28.1.11

اضرب $2$ في $2$ .

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

خطوة 28.1.12

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 28.1.12.1

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \sqrt{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}} + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

خطوة 28.1.12.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{x}{2}$ .

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \sqrt{1 + \frac{x^{2}}{2^{2}}} + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

خطوة 28.1.12.3

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \sqrt{1 + \frac{x^{2}}{4}} + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

خطوة 28.1.12.4

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \sqrt{\frac{4}{4} + \frac{x^{2}}{4}} + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

خطوة 28.1.12.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \sqrt{\frac{4 + x^{2}}{4}} + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

خطوة 28.1.12.6

أعِد كتابة $\frac{4 + x^{2}}{4}$ بالصيغة ${(\frac{1}{2})}^{2} (4 + x^{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 28.1.12.6.1

أخرِج عامل القوة الكاملة $1^{2}$ من $4 + x^{2}$ .

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \sqrt{\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{4}} + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

خطوة 28.1.12.6.2

أخرِج عامل القوة الكاملة $2^{2}$ من $4$ .

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \sqrt{\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{2^{2} \cdot 1}} + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

خطوة 28.1.12.6.3

أعِد ترتيب الكسر $\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{2^{2} \cdot 1}$ .

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (4 + x^{2})} + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

خطوة 28.1.12.7

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \frac{1}{2} \sqrt{4 + x^{2}} + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

خطوة 28.1.12.8

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\sqrt{4 + x^{2}}$ .

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

خطوة 28.1.12.9

تُعد دالتا المماس وقوس الظل دالتين متعاكستين.

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{x}{2} |)) + C$

خطوة 28.1.13

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \frac{\sqrt{4 + x^{2}} + x}{2} |)) + C$

خطوة 28.1.14

احذف الحدود غير السالبة من القيمة المطلقة.

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (\frac{| \sqrt{4 + x^{2}} + x |}{2})) + C$

خطوة 28.2

لكتابة $\ln (\frac{| \sqrt{4 + x^{2}} + x |}{2})$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (\frac{| \sqrt{4 + x^{2}} + x |}{2}) \cdot \frac{4}{4}) + C$

خطوة 28.3

اجمع $\ln (\frac{| \sqrt{4 + x^{2}} + x |}{2})$ و $\frac{4}{4}$ .

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \frac{\ln (\frac{| \sqrt{4 + x^{2}} + x |}{2}) \cdot 4}{4}) + C$

خطوة 28.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$2 \frac{\sqrt{4 + x^{2}} x + \ln (\frac{| \sqrt{4 + x^{2}} + x |}{2}) \cdot 4}{4} + C$

خطوة 28.5

انقُل $4$ إلى يسار $\ln (\frac{| \sqrt{4 + x^{2}} + x |}{2})$ .

$2 \frac{\sqrt{4 + x^{2}} x + 4 \ln (\frac{| \sqrt{4 + x^{2}} + x |}{2})}{4} + C$

خطوة 28.6

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 28.6.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$2 \frac{\sqrt{4 + x^{2}} x + 4 \ln (\frac{| \sqrt{4 + x^{2}} + x |}{2})}{2 (2)} + C$

خطوة 28.6.2

ألغِ العامل المشترك.

$2 \frac{\sqrt{4 + x^{2}} x + 4 \ln (\frac{| \sqrt{4 + x^{2}} + x |}{2})}{2 \cdot 2} + C$

خطوة 28.6.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x + 4 \ln (\frac{| \sqrt{4 + x^{2}} + x |}{2})}{2} + C$

خطوة 29

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{2} (\sqrt{4 + x^{2}} x + 4 \ln (\frac{1}{2} | \sqrt{4 + x^{2}} + x |)) + C$