حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = 2 \sqrt{x} - \frac{1}{2 \sqrt{x}}$

خطوة 1

أعِد كتابة الطرف الأيمن بأُسس كسرية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y = 2 x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2 \sqrt{x}}$

خطوة 1.2

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y = 2 x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (2 x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

خطوة 3

مشتق $y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $y'$ .

$y'$

خطوة 4

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

خطوة 4.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

خطوة 4.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

خطوة 4.2.3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

خطوة 4.2.4

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

خطوة 4.2.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

خطوة 4.2.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.6.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

خطوة 4.2.6.2

اطرح $2$ من $1$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

خطوة 4.2.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$2 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

خطوة 4.2.8

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

خطوة 4.2.9

اجمع $2$ و $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{2 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

خطوة 4.2.10

انقُل $x^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

خطوة 4.2.11

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

خطوة 4.2.12

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

خطوة 4.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

بما أن $- \frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

خطوة 4.3.2

أعِد كتابة $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ بالصيغة ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

خطوة 4.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- 1}$ و $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

خطوة 4.3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

خطوة 4.3.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

خطوة 4.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

خطوة 4.3.5

اضرب الأُسس في ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.5.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} (- x^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

خطوة 4.3.5.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.5.2.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

خطوة 4.3.5.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

خطوة 4.3.5.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

خطوة 4.3.6

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

خطوة 4.3.7

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

خطوة 4.3.8

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

خطوة 4.3.9

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.9.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

خطوة 4.3.9.2

اطرح $2$ من $1$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

خطوة 4.3.10

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

خطوة 4.3.11

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} (- x^{- 1} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

خطوة 4.3.12

اجمع $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ و $x^{- 1}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} (- \frac{x^{- \frac{1}{2}} x^{- 1}}{2})$

خطوة 4.3.13

اضرب $x^{- \frac{1}{2}}$ في $x^{- 1}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.13.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1}}{2})$

خطوة 4.3.13.2

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{2})$

خطوة 4.3.13.3

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} (- \frac{x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{2})$

خطوة 4.3.13.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} (- \frac{x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}}}{2})$

خطوة 4.3.13.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.13.5.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} (- \frac{x^{\frac{- 1 - 2}{2}}}{2})$

خطوة 4.3.13.5.2

اطرح $2$ من $- 1$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} (- \frac{x^{\frac{- 3}{2}}}{2})$

خطوة 4.3.13.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

خطوة 4.3.14

انقُل $x^{- \frac{3}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

خطوة 4.3.15

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 1 (\frac{1}{2}) \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 4.3.16

اضرب $\frac{1}{2}$ في $1$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 4.3.17

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 (2 x^{\frac{3}{2}})}$

خطوة 4.3.18

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 5

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$y' = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}$