حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{3}{x^{2} + 3 x} d x$

خطوة 1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$3 \int \frac{1}{x^{2} + 3 x} d x$

خطوة 2

اكتب الكسر باستخدام التفكيك الكسري الجزئي.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

فكّ الكسر واضرب في القاسم المشترك.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2} + 3 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$\frac{1}{x \cdot x + 3 x}$

خطوة 2.1.1.2

أخرِج العامل $x$ من $3 x$ .

$\frac{1}{x \cdot x + x \cdot 3}$

خطوة 2.1.1.3

أخرِج العامل $x$ من $x \cdot x + x \cdot 3$ .

$\frac{1}{x (x + 3)}$

خطوة 2.1.2

أنشئ كسرًا جديدًا لكل عامل في القاسم باستخدام العامل كقاسم، وقيمة غير معروفة كبسط الكسر. ونظرًا إلى أن العامل في القاسم خطي، ضع متغيرًا واحدًا في مكانه $B$ .

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 3}$

خطوة 2.1.3

اضرب كل كسر في المعادلة في قاسم العبارة الأصلية. في هذه الحالة، القاسم يساوي $x (x + 3)$ .

$\frac{1 (x (x + 3))}{x (x + 3)} = \frac{A (x (x + 3))}{x} + \frac{(B) (x (x + 3))}{x + 3}$

خطوة 2.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1 (x (x + 3))}{x (x + 3)} = \frac{A (x (x + 3))}{x} + \frac{(B) (x (x + 3))}{x + 3}$

خطوة 2.1.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1 (x + 3)}{x + 3} = \frac{A (x (x + 3))}{x} + \frac{(B) (x (x + 3))}{x + 3}$

خطوة 2.1.5

ألغِ العامل المشترك لـ $x + 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1 (x + 3)}{x + 3} = \frac{A (x (x + 3))}{x} + \frac{(B) (x (x + 3))}{x + 3}$

خطوة 2.1.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$1 = \frac{A (x (x + 3))}{x} + \frac{(B) (x (x + 3))}{x + 3}$

خطوة 2.1.6

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.6.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.6.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$1 = \frac{A (x (x + 3))}{x} + \frac{(B) (x (x + 3))}{x + 3}$

خطوة 2.1.6.1.2

اقسِم $A (x + 3)$ على $1$ .

$1 = A (x + 3) + \frac{(B) (x (x + 3))}{x + 3}$

خطوة 2.1.6.2

طبّق خاصية التوزيع.

$1 = A x + A \cdot 3 + \frac{(B) (x (x + 3))}{x + 3}$

خطوة 2.1.6.3

انقُل $3$ إلى يسار $A$ .

$1 = A x + 3 \cdot A + \frac{(B) (x (x + 3))}{x + 3}$

خطوة 2.1.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $x + 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$1 = A x + 3 A + \frac{B (x (x + 3))}{x + 3}$

خطوة 2.1.6.4.2

اقسِم $(B) (x)$ على $1$ .

$1 = A x + 3 A + (B) (x)$

$1 = A x + 3 A + B x$

خطوة 2.1.7

انقُل $3 A$ .

$1 = A x + B x + 3 A$

خطوة 2.2

أنشئ معادلات لمتغيرات الكسور الجزئية واستخدمها لتعيين سلسلة معادلات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أنشئ معادلة لمتغيرات الكسر الجزئي عن طريق معادلة معاملات $x$ من كل متعادل. ولكي تكون المعادلة متساوية، يجب أن تكون المعاملات المتكافئة في كل متعادل متساوية.

$0 = A + B$

خطوة 2.2.2

أنشئ معادلة لمتغيرات الكسر الجزئي عن طريق معادلة معاملات الحدود التي لا تتضمن $x$ . ولكي تكون المعادلة متساوية، يجب أن تكون المعاملات المتكافئة في كل متعادل متساوية.

$1 = 3 A$

خطوة 2.2.3

عيّن سلسلة المعادلات لإيجاد معاملات الكسور الجزئية.

$0 = A + B$

$1 = 3 A$

$0 = A + B$

$1 = 3 A$

خطوة 2.3

أوجِد حل سلسلة المعادلات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أوجِد قيمة $A$ في $1 = 3 A$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $3 A = 1$ .

$3 A = 1$

$0 = A + B$

خطوة 2.3.1.2

اقسِم كل حد في $3 A = 1$ على $3$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.2.1

اقسِم كل حد في $3 A = 1$ على $3$ .

$\frac{3 A}{3} = \frac{1}{3}$

$0 = A + B$

خطوة 2.3.1.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 A}{3} = \frac{1}{3}$

$0 = A + B$

خطوة 2.3.1.2.2.1.2

اقسِم $A$ على $1$ .

$A = \frac{1}{3}$

$0 = A + B$

$A = \frac{1}{3}$

$0 = A + B$

$A = \frac{1}{3}$

$0 = A + B$

$A = \frac{1}{3}$

$0 = A + B$

$A = \frac{1}{3}$

$0 = A + B$

خطوة 2.3.2

استبدِل كافة حالات حدوث $A$ بـ $\frac{1}{3}$ في كل معادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

استبدِل كافة حالات حدوث $A$ في $0 = A + B$ بـ $\frac{1}{3}$ .

$0 = (\frac{1}{3}) + B$

$A = \frac{1}{3}$

خطوة 2.3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.2.1

احذِف الأقواس.

$0 = \frac{1}{3} + B$

$A = \frac{1}{3}$

$0 = \frac{1}{3} + B$

$A = \frac{1}{3}$

$0 = \frac{1}{3} + B$

$A = \frac{1}{3}$

خطوة 2.3.3

أوجِد قيمة $B$ في $0 = \frac{1}{3} + B$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\frac{1}{3} + B = 0$ .

$\frac{1}{3} + B = 0$

$A = \frac{1}{3}$

خطوة 2.3.3.2

اطرح $\frac{1}{3}$ من كلا المتعادلين.

$B = - \frac{1}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

$B = - \frac{1}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

خطوة 2.3.4

أوجِد حل سلسلة المعادلات.

$B = - \frac{1}{3} A = \frac{1}{3}$

خطوة 2.3.5

اسرِد جميع الحلول.

$B = - \frac{1}{3}, A = \frac{1}{3}$

خطوة 2.4

استبدِل كل معامل من معاملات الكسور الجزئية في $\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 3}$ بالقيم التي تم إيجادها لـ $A$ و $B$ .

$\frac{\frac{1}{3}}{x} + \frac{- \frac{1}{3}}{x + 3}$

خطوة 2.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x} + \frac{- \frac{1}{3}}{x + 3}$

خطوة 2.5.2

اضرب $\frac{1}{3}$ في $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{3 x} + \frac{- \frac{1}{3}}{x + 3}$

خطوة 2.5.3

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$\frac{1}{3 x} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x + 3}$

خطوة 2.5.4

اضرب $\frac{1}{x + 3}$ في $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3 x} - \frac{1}{(x + 3) \cdot 3}$

خطوة 2.5.5

انقُل $3$ إلى يسار $x + 3$ .

$3 \int \frac{1}{3 x} - \frac{1}{3 (x + 3)} d x$

خطوة 3

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$3 (\int \frac{1}{3 x} d x + \int - \frac{1}{3 (x + 3)} d x)$

خطوة 4

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{3}$ خارج التكامل.

$3 (\frac{1}{3} \int \frac{1}{x} d x + \int - \frac{1}{3 (x + 3)} d x)$

خطوة 5

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$3 (\frac{1}{3} (\ln (| x |) + C) + \int - \frac{1}{3 (x + 3)} d x)$

خطوة 6

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$3 (\frac{1}{3} (\ln (| x |) + C) - \int \frac{1}{3 (x + 3)} d x)$

خطوة 7

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{3}$ خارج التكامل.

$3 (\frac{1}{3} (\ln (| x |) + C) - (\frac{1}{3} \int \frac{1}{x + 3} d x))$

خطوة 8

لنفترض أن $u = x + 3$ . إذن $d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

افترض أن $u = x + 3$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.1

أوجِد مشتقة $x + 3$ .

$\frac{d}{d x} [x + 3]$

خطوة 8.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

خطوة 8.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [3]$

خطوة 8.1.4

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 8.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 8.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$3 (\frac{1}{3} (\ln (| x |) + C) - \frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u)$

خطوة 9

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$3 (\frac{1}{3} (\ln (| x |) + C) - \frac{1}{3} (\ln (| u |) + C))$

خطوة 10

بسّط.

$3 (\frac{1}{3} \ln (| x |) - \frac{1}{3} \ln (| u |)) + C$

خطوة 11

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x + 3$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| x |) - \frac{1}{3} \ln (| x + 3 |)) + C$

خطوة 12

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1

اجمع $\frac{1}{3}$ و $\ln (| x |)$ .

$3 (\frac{\ln (| x |)}{3} - \frac{1}{3} \ln (| x + 3 |)) + C$

خطوة 12.1.2

اجمع $\ln (| x + 3 |)$ و $\frac{1}{3}$ .

$3 (\frac{\ln (| x |)}{3} - \frac{\ln (| x + 3 |)}{3}) + C$

خطوة 12.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$3 \frac{\ln (| x |) - \ln (| x + 3 |)}{3} + C$

خطوة 12.3

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$3 \frac{\ln (\frac{| x |}{| x + 3 |})}{3} + C$

خطوة 12.4

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$3 \frac{\ln (\frac{| x |}{| x + 3 |})}{3} + C$

خطوة 12.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\ln (\frac{| x |}{| x + 3 |}) + C$