حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x^{2} - 4 x y + 2 y^{2} = - 4 x$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x y + 2 y^{2}) = \frac{d}{d x} (- 4 x)$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} - 4 x y + 2 y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x y] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x y] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 4 x y] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 4 x y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 4 x y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 4 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$2 x - 4 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = y$ .

$2 x - 4 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$

خطوة 2.2.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$2 x - 4 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$

خطوة 2.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 x - 4 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$

خطوة 2.2.5

اضرب $y$ في $1$ .

$2 x - 4 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 y^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$2 x - 4 (x y' + y) + 2 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$2 x - 4 (x y' + y) + 2 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 2.3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 x - 4 (x y' + y) + 2 (2 u \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 2.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$2 x - 4 (x y' + y) + 2 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 2.3.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$2 x - 4 (x y' + y) + 2 (2 y y')$

خطوة 2.3.4

اضرب $2$ في $2$ .

$2 x - 4 (x y' + y) + 4 y y'$

خطوة 2.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$2 x - 4 (x y') - 4 y + 4 y y'$

خطوة 2.4.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$2 x - 4 x y' - 4 y + 4 y y'$

خطوة 2.4.3

أعِد ترتيب الحدود.

$- 4 x y' + 4 y y' + 2 x - 4 y$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 4 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 4 \cdot 1$

خطوة 3.3

اضرب $- 4$ في $1$ .

$- 4$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$- 4 x y' + 4 y y' + 2 x - 4 y = - 4$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y'$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

اطرح $2 x$ من كلا المتعادلين.

$- 4 x y' + 4 y y' - 4 y = - 4 - 2 x$

خطوة 5.1.2

أضف $4 y$ إلى كلا المتعادلين.

$- 4 x y' + 4 y y' = - 4 - 2 x + 4 y$

خطوة 5.2

أخرِج العامل $4 y'$ من $- 4 x y' + 4 y y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

أخرِج العامل $4 y'$ من $- 4 x y'$ .

$4 y' (- x) + 4 y y' = - 4 - 2 x + 4 y$

خطوة 5.2.2

أخرِج العامل $4 y'$ من $4 y y'$ .

$4 y' (- x) + 4 y' y = - 4 - 2 x + 4 y$

خطوة 5.2.3

أخرِج العامل $4 y'$ من $4 y' (- x) + 4 y' y$ .

$4 y' (- x + y) = - 4 - 2 x + 4 y$

خطوة 5.3

اقسِم كل حد في $4 y' (- x + y) = - 4 - 2 x + 4 y$ على $4 (- x + y)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

اقسِم كل حد في $4 y' (- x + y) = - 4 - 2 x + 4 y$ على $4 (- x + y)$ .

$\frac{4 y' (- x + y)}{4 (- x + y)} = \frac{- 4}{4 (- x + y)} + \frac{- 2 x}{4 (- x + y)} + \frac{4 y}{4 (- x + y)}$

خطوة 5.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 y' (- x + y)}{4 (- x + y)} = \frac{- 4}{4 (- x + y)} + \frac{- 2 x}{4 (- x + y)} + \frac{4 y}{4 (- x + y)}$

خطوة 5.3.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y' (- x + y)}{- x + y} = \frac{- 4}{4 (- x + y)} + \frac{- 2 x}{4 (- x + y)} + \frac{4 y}{4 (- x + y)}$

خطوة 5.3.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $- x + y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (- x + y)}{- x + y} = \frac{- 4}{4 (- x + y)} + \frac{- 2 x}{4 (- x + y)} + \frac{4 y}{4 (- x + y)}$

خطوة 5.3.2.2.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{- 4}{4 (- x + y)} + \frac{- 2 x}{4 (- x + y)} + \frac{4 y}{4 (- x + y)}$

خطوة 5.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1.1

احذِف العامل المشترك لـ $- 4$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1.1.1

أخرِج العامل $4$ من $- 4$ .

$y' = \frac{4 \cdot - 1}{4 (- x + y)} + \frac{- 2 x}{4 (- x + y)} + \frac{4 y}{4 (- x + y)}$

خطوة 5.3.3.1.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$y' = \frac{4 \cdot - 1}{4 (- x + y)} + \frac{- 2 x}{4 (- x + y)} + \frac{4 y}{4 (- x + y)}$

خطوة 5.3.3.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y' = \frac{- 1}{- x + y} + \frac{- 2 x}{4 (- x + y)} + \frac{4 y}{4 (- x + y)}$

خطوة 5.3.3.1.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{1}{- x + y} + \frac{- 2 x}{4 (- x + y)} + \frac{4 y}{4 (- x + y)}$

خطوة 5.3.3.1.3

احذِف العامل المشترك لـ $- 2$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1.3.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2 x$ .

$y' = - \frac{1}{- x + y} + \frac{2 (- x)}{4 (- x + y)} + \frac{4 y}{4 (- x + y)}$

خطوة 5.3.3.1.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4 (- x + y)$ .

$y' = - \frac{1}{- x + y} + \frac{2 (- x)}{2 (2 (- x + y))} + \frac{4 y}{4 (- x + y)}$

خطوة 5.3.3.1.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y' = - \frac{1}{- x + y} + \frac{2 (- x)}{2 (2 (- x + y))} + \frac{4 y}{4 (- x + y)}$

خطوة 5.3.3.1.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y' = - \frac{1}{- x + y} + \frac{- x}{2 (- x + y)} + \frac{4 y}{4 (- x + y)}$

خطوة 5.3.3.1.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{1}{- x + y} - \frac{x}{2 (- x + y)} + \frac{4 y}{4 (- x + y)}$

خطوة 5.3.3.1.5

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$y' = - \frac{1}{- x + y} - \frac{x}{2 (- x + y)} + \frac{4 y}{4 (- x + y)}$

خطوة 5.3.3.1.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$y' = - \frac{1}{- x + y} - \frac{x}{2 (- x + y)} + \frac{y}{- x + y}$

خطوة 5.3.3.2

لكتابة $- \frac{1}{- x + y}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{1}{- x + y} \cdot \frac{2}{2} - \frac{x}{2 (- x + y)} + \frac{y}{- x + y}$

خطوة 5.3.3.3

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $(- x + y) \cdot 2$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.3.1

اضرب $\frac{1}{- x + y}$ في $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{2}{(- x + y) \cdot 2} - \frac{x}{2 (- x + y)} + \frac{y}{- x + y}$

خطوة 5.3.3.3.2

أعِد ترتيب عوامل $(- x + y) \cdot 2$ .

$y' = - \frac{2}{2 (- x + y)} - \frac{x}{2 (- x + y)} + \frac{y}{- x + y}$

خطوة 5.3.3.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y' = \frac{- 2 - x}{2 (- x + y)} + \frac{y}{- x + y}$

خطوة 5.3.3.5

لكتابة $\frac{y}{- x + y}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$y' = \frac{- 2 - x}{2 (- x + y)} + \frac{y}{- x + y} \cdot \frac{2}{2}$

خطوة 5.3.3.6

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $2 (- x + y)$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.6.1

اضرب $\frac{y}{- x + y}$ في $\frac{2}{2}$ .

$y' = \frac{- 2 - x}{2 (- x + y)} + \frac{y \cdot 2}{(- x + y) \cdot 2}$

خطوة 5.3.3.6.2

أعِد ترتيب عوامل $(- x + y) \cdot 2$ .

$y' = \frac{- 2 - x}{2 (- x + y)} + \frac{y \cdot 2}{2 (- x + y)}$

خطوة 5.3.3.7

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y' = \frac{- 2 - x + y \cdot 2}{2 (- x + y)}$

خطوة 5.3.3.8

انقُل $2$ إلى يسار $y$ .

$y' = \frac{- 2 - x + 2 y}{2 (- x + y)}$

خطوة 5.3.3.9

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.9.1

أعِد كتابة $- 2$ بالصيغة $- 1 (2)$ .

$y' = \frac{- 1 (2) - x + 2 y}{2 (- x + y)}$

خطوة 5.3.3.9.2

أخرِج العامل $- 1$ من $- x$ .

$y' = \frac{- 1 (2) - (x) + 2 y}{2 (- x + y)}$

خطوة 5.3.3.9.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- 1 (2) - (x)$ .

$y' = \frac{- 1 (2 + x) + 2 y}{2 (- x + y)}$

خطوة 5.3.3.9.4

أخرِج العامل $- 1$ من $2 y$ .

$y' = \frac{- 1 (2 + x) - (- 2 y)}{2 (- x + y)}$

خطوة 5.3.3.9.5

أخرِج العامل $- 1$ من $- 1 (2 + x) - (- 2 y)$ .

$y' = \frac{- 1 (2 + x - 2 y)}{2 (- x + y)}$

خطوة 5.3.3.9.6

أخرِج العامل $- 1$ من $- x$ .

$y' = \frac{- 1 (2 + x - 2 y)}{2 (- (x) + y)}$

خطوة 5.3.3.9.7

أخرِج العامل $- 1$ من $y$ .

$y' = \frac{- 1 (2 + x - 2 y)}{2 (- (x) - 1 (- y))}$

خطوة 5.3.3.9.8

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x) - 1 (- y)$ .

$y' = \frac{- 1 (2 + x - 2 y)}{2 (- (x - y))}$

خطوة 5.3.3.9.9

أعِد كتابة $- (x - y)$ بالصيغة $- 1 (x - y)$ .

$y' = \frac{- 1 (2 + x - 2 y)}{2 (- 1 (x - y))}$

خطوة 5.3.3.9.10

ألغِ العامل المشترك.

$y' = \frac{- 1 (2 + x - 2 y)}{2 (- 1 (x - y))}$

خطوة 5.3.3.9.11

أعِد كتابة العبارة.

$y' = \frac{2 + x - 2 y}{2 (x - y)}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 + x - 2 y}{2 (x - y)}$