حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 2 x^{2} - x^{4}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x^{2} - x^{4}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

خطوة 1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

خطوة 1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

خطوة 1.2.3

اضرب $2$ في $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{4}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$4 x - \frac{d}{d x} [x^{4}]$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$4 x - (4 x^{3})$

خطوة 1.3.3

اضرب $4$ في $- 1$ .

$4 x - 4 x^{3}$

خطوة 1.4

أعِد ترتيب الحدود.

$- 4 x^{3} + 4 x$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- 4 x^{3} + 4 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (4 x)$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 4 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (4 x)$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$f'' (x) = - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4 x)$

خطوة 2.2.3

اضرب $3$ في $- 4$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (4 x)$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 4 \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 4 \cdot 1$

خطوة 2.3.3

اضرب $4$ في $1$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 4$

خطوة 3

لإيجاد قيم الحد الأقصى المحلي والحد الأدنى المحلي للدالة، عيّن قيمة المشتق لتصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد الحل.

$- 4 x^{3} + 4 x = 0$

خطوة 4

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x^{2} - x^{4}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x^{4})$

خطوة 4.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x^{4})$

خطوة 4.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f' (x) = 2 (2 x) + \frac{d}{d x} (- x^{4})$

خطوة 4.1.2.3

اضرب $2$ في $2$ .

$f' (x) = 4 x + \frac{d}{d x} (- x^{4})$

خطوة 4.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{4}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 4 x - \frac{d}{d x} x^{4}$

خطوة 4.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x - (4 x^{3})$

خطوة 4.1.3.3

اضرب $4$ في $- 1$ .

$f' (x) = 4 x - 4 x^{3}$

خطوة 4.1.4

أعِد ترتيب الحدود.

$f' (x) = - 4 x^{3} + 4 x$

خطوة 4.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- 4 x^{3} + 4 x$ .

$- 4 x^{3} + 4 x$

خطوة 5

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $- 4 x^{3} + 4 x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- 4 x^{3} + 4 x = 0$

خطوة 5.2

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

أخرِج العامل $- 4 x$ من $- 4 x^{3} + 4 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

أخرِج العامل $- 4 x$ من $- 4 x^{3}$ .

$- 4 x \cdot x^{2} + 4 x = 0$

خطوة 5.2.1.2

أخرِج العامل $- 4 x$ من $4 x$ .

$- 4 x \cdot x^{2} - 4 x \cdot - 1 = 0$

خطوة 5.2.1.3

أخرِج العامل $- 4 x$ من $- 4 x (x^{2}) - 4 x (- 1)$ .

$- 4 x (x^{2} - 1) = 0$

خطوة 5.2.2

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$- 4 x (x^{2} - 1^{2}) = 0$

خطوة 5.2.3

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = x$ و $b = 1$ .

$- 4 x ((x + 1) (x - 1)) = 0$

خطوة 5.2.3.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$- 4 x (x + 1) (x - 1) = 0$

خطوة 5.3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

خطوة 5.4

عيّن قيمة $x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x = 0$

خطوة 5.5

عيّن قيمة العبارة $x + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

عيّن قيمة $x + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 1 = 0$

خطوة 5.5.2

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$x = - 1$

خطوة 5.6

عيّن قيمة العبارة $x - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1

عيّن قيمة $x - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 1 = 0$

خطوة 5.6.2

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 1$

خطوة 5.7

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $- 4 x (x + 1) (x - 1) = 0$ صحيحة.

$x = 0, - 1, 1$

خطوة 6

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

خطوة 7

النقاط الحرجة اللازم حساب قيمتها.

$x = 0, - 1, 1$

خطوة 8

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = 0$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$- 12 {(0)}^{2} + 4$

خطوة 9

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$- 12 \cdot 0 + 4$

خطوة 9.1.2

اضرب $- 12$ في $0$ .

$0 + 4$

خطوة 9.2

أضف $0$ و $4$ .

$4$

خطوة 10

$x = 0$ هي حد أدنى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية موجبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = 0$ هي حد أدنى محلي

خطوة 11

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f (0) = 2 {(0)}^{2} - {(0)}^{4}$

خطوة 11.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f (0) = 2 \cdot 0 - {(0)}^{4}$

خطوة 11.2.1.2

اضرب $2$ في $0$ .

$f (0) = 0 - {(0)}^{4}$

خطوة 11.2.1.3

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f (0) = 0 - 0$

خطوة 11.2.1.4

اضرب $- 1$ في $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

خطوة 11.2.2

أضف $0$ و $0$ .

$f (0) = 0$

خطوة 11.2.3

الإجابة النهائية هي $0$ .

$y = 0$

خطوة 12

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = - 1$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$- 12 {(- 1)}^{2} + 4$

خطوة 13

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.1

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$- 12 \cdot 1 + 4$

خطوة 13.1.2

اضرب $- 12$ في $1$ .

$- 12 + 4$

خطوة 13.2

أضف $- 12$ و $4$ .

$- 8$

خطوة 14

$x = - 1$ هي حد أقصى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية سالبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = - 1$ هي حد أقصى محلي

خطوة 15

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 1$ في العبارة.

$f (- 1) = 2 {(- 1)}^{2} - {(- 1)}^{4}$

خطوة 15.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.2.1.1

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$f (- 1) = 2 \cdot 1 - {(- 1)}^{4}$

خطوة 15.2.1.2

اضرب $2$ في $1$ .

$f (- 1) = 2 - {(- 1)}^{4}$

خطوة 15.2.1.3

اضرب $- 1$ في ${(- 1)}^{4}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.2.1.3.1

اضرب $- 1$ في ${(- 1)}^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.2.1.3.1.1

ارفع $- 1$ إلى القوة $1$ .

$f (- 1) = 2 + (- 1) {(- 1)}^{4}$

خطوة 15.2.1.3.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f (- 1) = 2 + {(- 1)}^{1 + 4}$

خطوة 15.2.1.3.2

أضف $1$ و $4$ .

$f (- 1) = 2 + {(- 1)}^{5}$

خطوة 15.2.1.4

ارفع $- 1$ إلى القوة $5$ .

$f (- 1) = 2 - 1$

خطوة 15.2.2

اطرح $1$ من $2$ .

$f (- 1) = 1$

خطوة 15.2.3

الإجابة النهائية هي $1$ .

$y = 1$

خطوة 16

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = 1$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$- 12 {(1)}^{2} + 4$

خطوة 17

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.1.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$- 12 \cdot 1 + 4$

خطوة 17.1.2

اضرب $- 12$ في $1$ .

$- 12 + 4$

خطوة 17.2

أضف $- 12$ و $4$ .

$- 8$

خطوة 18

$x = 1$ هي حد أقصى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية سالبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = 1$ هي حد أقصى محلي

خطوة 19

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $1$ في العبارة.

$f (1) = 2 {(1)}^{2} - {(1)}^{4}$

خطوة 19.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.2.1.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f (1) = 2 \cdot 1 - {(1)}^{4}$

خطوة 19.2.1.2

اضرب $2$ في $1$ .

$f (1) = 2 - {(1)}^{4}$

خطوة 19.2.1.3

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f (1) = 2 - 1 \cdot 1$

خطوة 19.2.1.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f (1) = 2 - 1$

خطوة 19.2.2

اطرح $1$ من $2$ .

$f (1) = 1$

خطوة 19.2.3

الإجابة النهائية هي $1$ .

$y = 1$

خطوة 20

هذه هي القيم القصوى المحلية لـ $f (x) = 2 x^{2} - x^{4}$ .

$(0, 0)$ هي نقاط دنيا محلية

$(- 1, 1)$ هي نقطة قصوى محلية

$(1, 1)$ هي نقطة قصوى محلية

خطوة 21