حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{x^{2}}{x - 1}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = x - 1$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{(x - 1) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 1.2.2

انقُل $2$ إلى يسار $x - 1$ .

$\frac{2 \cdot (x - 1) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 1.2.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{2 (x - 1) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 1.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{2 (x - 1) x - x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 1.2.5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{2 (x - 1) x - x^{2} (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 1.2.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.1

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{2 (x - 1) x - x^{2} \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 1.2.6.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{2 (x - 1) x - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{(2 x + 2 \cdot - 1) x - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 1.3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot - 1 x - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 1.3.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.1.1

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.1.1.1

انقُل $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 \cdot - 1 x - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 1.3.3.1.1.2

اضرب $x$ في $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 \cdot - 1 x - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 1.3.3.1.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 x - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 1.3.3.2

اطرح $x^{2}$ من $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 2 x}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 1.3.4

أخرِج العامل $x$ من $x^{2} - 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.4.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x - 2 x}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 1.3.4.2

أخرِج العامل $x$ من $- 2 x$ .

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 2}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 1.3.4.3

أخرِج العامل $x$ من $x \cdot x + x \cdot - 2$ .

$\frac{x (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

$f'' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x (x - 2)) - x (x - 2) \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{2}}{{({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

خطوة 2.2

اضرب الأُسس في ${({(x - 1)}^{2})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x (x - 2)) - x (x - 2) \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2 \cdot 2}}$

خطوة 2.2.2

اضرب $2$ في $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x (x - 2)) - x (x - 2) \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = x - 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} (x \frac{d}{d x} (x - 2) + (x - 2) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 2) \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

خطوة 2.4

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} (x (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2)) + (x - 2) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 2) \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

خطوة 2.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} (x (1 + \frac{d}{d x} (- 2)) + (x - 2) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 2) \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

خطوة 2.4.3

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} (x (1 + 0) + (x - 2) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 2) \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

خطوة 2.4.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.4.1

أضف $1$ و $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} (x \cdot 1 + (x - 2) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 2) \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

خطوة 2.4.4.2

اضرب $x$ في $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} (x + (x - 2) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 2) \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

خطوة 2.4.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} (x + (x - 2) \cdot 1) - x (x - 2) \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

خطوة 2.4.6

بسّط بجمع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.6.1

اضرب $x - 2$ في $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} (x + x - 2) - x (x - 2) \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

خطوة 2.4.6.2

أضف $x$ و $x$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} (2 x - 2) - x (x - 2) \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

خطوة 2.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = x - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x - 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} (2 x - 2) - x (x - 2) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

خطوة 2.5.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} (2 x - 2) - x (x - 2) (2 u \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

خطوة 2.5.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x - 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} (2 x - 2) - x (x - 2) (2 (x - 1) \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

خطوة 2.6

بسّط بالتحليل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} (2 x - 2) - 2 x (x - 2) ((x - 1) \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

خطوة 2.6.2

أخرِج العامل $x - 1$ من ${(x - 1)}^{2} (2 x - 2) - 2 x (x - 2) ((x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.2.1

أخرِج العامل $x - 1$ من ${(x - 1)}^{2} (2 x - 2)$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 1) ((x - 1) (2 x - 2)) - 2 x (x - 2) ((x - 1) \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

خطوة 2.6.2.2

أخرِج العامل $x - 1$ من $- 2 x (x - 2) ((x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 1) ((x - 1) (2 x - 2)) + (x - 1) (- 2 x (x - 2) (\frac{d}{d x} (x - 1)))}{{(x - 1)}^{4}}$

خطوة 2.6.2.3

أخرِج العامل $x - 1$ من $(x - 1) ((x - 1) (2 x - 2)) + (x - 1) (- 2 x (x - 2) (\frac{d}{d x} [x - 1]))$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 1) ((x - 1) (2 x - 2) - 2 x (x - 2) (\frac{d}{d x} (x - 1)))}{{(x - 1)}^{4}}$

خطوة 2.7

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.1

أخرِج العامل $x - 1$ من ${(x - 1)}^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 1) ((x - 1) (2 x - 2) - 2 x (x - 2) (\frac{d}{d x} (x - 1)))}{(x - 1) {(x - 1)}^{3}}$

خطوة 2.7.2

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (x) = \frac{(x - 1) ((x - 1) (2 x - 2) - 2 x (x - 2) (\frac{d}{d x} (x - 1)))}{(x - 1) {(x - 1)}^{3}}$

خطوة 2.7.3

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (x) = \frac{(x - 1) (2 x - 2) - 2 x (x - 2) (\frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{3}}$

خطوة 2.8

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 1) (2 x - 2) - 2 x (x - 2) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x - 1)}^{3}}$

خطوة 2.9

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 1) (2 x - 2) - 2 x (x - 2) (1 + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x - 1)}^{3}}$

خطوة 2.10

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 1) (2 x - 2) - 2 x (x - 2) (1 + 0)}{{(x - 1)}^{3}}$

خطوة 2.11

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.11.1

أضف $1$ و $0$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 1) (2 x - 2) - 2 x (x - 2) \cdot 1}{{(x - 1)}^{3}}$

خطوة 2.11.2

اضرب $- 2$ في $1$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 1) (2 x - 2) - 2 x (x - 2)}{{(x - 1)}^{3}}$

خطوة 2.12

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.12.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{(x - 1) (2 x - 2) - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 2}{{(x - 1)}^{3}}$

خطوة 2.12.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.12.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.12.2.1.1

وسّع $(x - 1) (2 x - 2)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.12.2.1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{x (2 x - 2) - 1 (2 x - 2) - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 2}{{(x - 1)}^{3}}$

خطوة 2.12.2.1.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{x (2 x) + x \cdot - 2 - 1 (2 x - 2) - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 2}{{(x - 1)}^{3}}$

خطوة 2.12.2.1.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{x (2 x) + x \cdot - 2 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 2 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 2}{{(x - 1)}^{3}}$

خطوة 2.12.2.1.2

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.12.2.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.12.2.1.2.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$f'' (x) = \frac{2 x \cdot x + x \cdot - 2 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 2 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 2}{{(x - 1)}^{3}}$

خطوة 2.12.2.1.2.1.2

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.12.2.1.2.1.2.1

انقُل $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x \cdot x) + x \cdot - 2 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 2 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 2}{{(x - 1)}^{3}}$

خطوة 2.12.2.1.2.1.2.2

اضرب $x$ في $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} + x \cdot - 2 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 2 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 2}{{(x - 1)}^{3}}$

خطوة 2.12.2.1.2.1.3

انقُل $- 2$ إلى يسار $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 2 \cdot x - 1 (2 x) - 1 \cdot - 2 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 2}{{(x - 1)}^{3}}$

خطوة 2.12.2.1.2.1.4

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 2 x - 2 x - 1 \cdot - 2 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 2}{{(x - 1)}^{3}}$

خطوة 2.12.2.1.2.1.5

اضرب $- 1$ في $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 2 x - 2 x + 2 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 2}{{(x - 1)}^{3}}$

خطوة 2.12.2.1.2.2

اطرح $2 x$ من $- 2 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 4 x + 2 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 2}{{(x - 1)}^{3}}$

خطوة 2.12.2.1.3

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.12.2.1.3.1

انقُل $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 4 x + 2 - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 2}{{(x - 1)}^{3}}$

خطوة 2.12.2.1.3.2

اضرب $x$ في $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 4 x + 2 - 2 x^{2} - 2 x \cdot - 2}{{(x - 1)}^{3}}$

خطوة 2.12.2.1.4

اضرب $- 2$ في $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 4 x + 2 - 2 x^{2} + 4 x}{{(x - 1)}^{3}}$

خطوة 2.12.2.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $2 x^{2} - 4 x + 2 - 2 x^{2} + 4 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.12.2.2.1

اطرح $2 x^{2}$ من $2 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x + 2 + 0 + 4 x}{{(x - 1)}^{3}}$

خطوة 2.12.2.2.2

أضف $- 4 x + 2$ و $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x + 2 + 4 x}{{(x - 1)}^{3}}$

خطوة 2.12.2.2.3

أضف $- 4 x$ و $4 x$ .

$f'' (x) = \frac{0 + 2}{{(x - 1)}^{3}}$

خطوة 2.12.2.2.4

أضف $0$ و $2$ .

$f'' (x) = \frac{2}{{(x - 1)}^{3}}$

خطوة 3

لإيجاد قيم الحد الأقصى المحلي والحد الأدنى المحلي للدالة، عيّن قيمة المشتق لتصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد الحل.

$\frac{x (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}} = 0$

خطوة 4

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

$\frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 4.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{(x - 1) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 4.1.2.2

انقُل $2$ إلى يسار $x - 1$ .

$\frac{2 \cdot (x - 1) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 4.1.2.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{2 (x - 1) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 4.1.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{2 (x - 1) x - x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 4.1.2.5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{2 (x - 1) x - x^{2} (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 4.1.2.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.6.1

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{2 (x - 1) x - x^{2} \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 4.1.2.6.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{2 (x - 1) x - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 4.1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{(2 x + 2 \cdot - 1) x - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 4.1.3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot - 1 x - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 4.1.3.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.3.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.3.3.1.1

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.3.3.1.1.1

انقُل $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 \cdot - 1 x - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 4.1.3.3.1.1.2

اضرب $x$ في $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 \cdot - 1 x - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 4.1.3.3.1.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 x - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 4.1.3.3.2

اطرح $x^{2}$ من $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 2 x}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 4.1.3.4

أخرِج العامل $x$ من $x^{2} - 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.3.4.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x - 2 x}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 4.1.3.4.2

أخرِج العامل $x$ من $- 2 x$ .

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 2}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 4.1.3.4.3

أخرِج العامل $x$ من $x \cdot x + x \cdot - 2$ .

$f' (x) = \frac{x (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 4.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{x (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}}$ .

$\frac{x (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 5

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $\frac{x (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\frac{x (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}} = 0$

خطوة 5.2

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$x (x - 2) = 0$

خطوة 5.3

أوجِد قيمة $x$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x = 0$

$x - 2 = 0$

خطوة 5.3.2

عيّن قيمة $x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x = 0$

خطوة 5.3.3

عيّن قيمة العبارة $x - 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

عيّن قيمة $x - 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 2 = 0$

خطوة 5.3.3.2

أضف $2$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 2$

خطوة 5.3.4

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $x (x - 2) = 0$ صحيحة.

$x = 0, 2$

خطوة 6

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

عيّن قيمة القاسم في $\frac{x (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

${(x - 1)}^{2} = 0$

خطوة 6.2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

عيّن قيمة $x - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 1 = 0$

خطوة 6.2.2

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 1$

خطوة 7

النقاط الحرجة اللازم حساب قيمتها.

$x = 0, 2$

خطوة 8

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = 0$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$\frac{2}{{((0) - 1)}^{3}}$

خطوة 9

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

اطرح $1$ من $0$ .

$\frac{2}{{(- 1)}^{3}}$

خطوة 9.1.2

ارفع $- 1$ إلى القوة $3$ .

$\frac{2}{- 1}$

خطوة 9.2

اقسِم $2$ على $- 1$ .

$- 2$

خطوة 10

$x = 0$ هي حد أقصى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية سالبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = 0$ هي حد أقصى محلي

خطوة 11

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f (0) = \frac{{(0)}^{2}}{(0) - 1}$

خطوة 11.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f (0) = \frac{0}{0 - 1}$

خطوة 11.2.2

اطرح $1$ من $0$ .

$f (0) = \frac{0}{- 1}$

خطوة 11.2.3

اقسِم $0$ على $- 1$ .

$f (0) = 0$

خطوة 11.2.4

الإجابة النهائية هي $0$ .

$y = 0$

خطوة 12

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = 2$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$\frac{2}{{((2) - 1)}^{3}}$

خطوة 13

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.1

اطرح $1$ من $2$ .

$\frac{2}{1^{3}}$

خطوة 13.1.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{2}{1}$

خطوة 13.2

اقسِم $2$ على $1$ .

$2$

خطوة 14

$x = 2$ هي حد أدنى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية موجبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = 2$ هي حد أدنى محلي

خطوة 15

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $2$ في العبارة.

$f (2) = \frac{{(2)}^{2}}{(2) - 1}$

خطوة 15.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.2.1

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$f (2) = \frac{4}{2 - 1}$

خطوة 15.2.2

اطرح $1$ من $2$ .

$f (2) = \frac{4}{1}$

خطوة 15.2.3

اقسِم $4$ على $1$ .

$f (2) = 4$

خطوة 15.2.4

الإجابة النهائية هي $4$ .

$y = 4$

خطوة 16

هذه هي القيم القصوى المحلية لـ $f (x) = \frac{x^{2}}{x - 1}$ .

$(0, 0)$ هي نقطة قصوى محلية

$(2, 4)$ هي نقاط دنيا محلية

خطوة 17