حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x^{2} \frac{d y}{d x} = y - x y$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اقسِم كل حد في $x^{2} \frac{d y}{d x} = y - x y$ على $x^{2}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

اقسِم كل حد في $x^{2} \frac{d y}{d x} = y - x y$ على $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x}}{x^{2}} = \frac{y}{x^{2}} + \frac{- x y}{x^{2}}$

خطوة 1.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x}}{x^{2}} = \frac{y}{x^{2}} + \frac{- x y}{x^{2}}$

خطوة 1.1.2.1.2

اقسِم $\frac{d y}{d x}$ على $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2}} + \frac{- x y}{x^{2}}$

خطوة 1.1.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1.1

احذِف العامل المشترك لـ $x$ و $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1.1.1

أخرِج العامل $x$ من $- x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2}} + \frac{x (- 1 y)}{x^{2}}$

خطوة 1.1.3.1.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1.1.2.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2}} + \frac{x (- 1 y)}{x \cdot x}$

خطوة 1.1.3.1.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2}} + \frac{x (- 1 y)}{x \cdot x}$

خطوة 1.1.3.1.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2}} + \frac{- 1 y}{x}$

خطوة 1.1.3.1.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2}} - \frac{y}{x}$

خطوة 1.2

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

لكتابة $- \frac{y}{x}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{x}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2}} - \frac{y}{x} \cdot \frac{x}{x}$

خطوة 1.2.2

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $x^{2}$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

اضرب $\frac{y}{x}$ في $\frac{x}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2}} - \frac{y x}{x \cdot x}$

خطوة 1.2.2.2

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2}} - \frac{y x}{x^{1} x}$

خطوة 1.2.2.3

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2}} - \frac{y x}{x^{1} x^{1}}$

خطوة 1.2.2.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2}} - \frac{y x}{x^{1 + 1}}$

خطوة 1.2.2.5

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2}} - \frac{y x}{x^{2}}$

خطوة 1.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y - y x}{x^{2}}$

خطوة 1.2.4

أخرِج العامل $y$ من $y - y x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1

ارفع $y$ إلى القوة $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{1} - y x}{x^{2}}$

خطوة 1.2.4.2

أخرِج العامل $y$ من $y^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot 1 - y x}{x^{2}}$

خطوة 1.2.4.3

أخرِج العامل $y$ من $- y x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot 1 + y (- x)}{x^{2}}$

خطوة 1.2.4.4

أخرِج العامل $y$ من $y \cdot 1 + y (- x)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot (1 - x)}{x^{2}}$

خطوة 1.2.4.5

اضرب $y$ في $1 - x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (1 - x)}{x^{2}}$

خطوة 1.3

أعِد تجميع العوامل.

$\frac{d y}{d x} = y \frac{1 - x}{x^{2}}$

خطوة 1.4

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{1 - x}{x^{2}})$

خطوة 1.5

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{1 - x}{x^{2}})$

خطوة 1.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 - x}{x^{2}}$

خطوة 1.6

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1 - x}{x^{2}} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{1 - x}{x^{2}} d x$

خطوة 2.2

تكامل $\frac{1}{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1 - x}{x^{2}} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

انقُل $x^{2}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int (1 - x) {(x^{2})}^{- 1} d x$

خطوة 2.3.1.2

اضرب الأُسس في ${(x^{2})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int (1 - x) x^{2 \cdot - 1} d x$

خطوة 2.3.1.2.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int (1 - x) x^{- 2} d x$

خطوة 2.3.2

اضرب $(1 - x) x^{- 2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 1 x^{- 2} - x \cdot x^{- 2} d x$

خطوة 2.3.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

اضرب $x^{- 2}$ في $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{- 2} - x \cdot x^{- 2} d x$

خطوة 2.3.3.2

اضرب $x$ في $x^{- 2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.2.1

انقُل $x^{- 2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{- 2} - (x^{- 2} x) d x$

خطوة 2.3.3.2.2

اضرب $x^{- 2}$ في $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.2.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{- 2} - (x^{- 2} x^{1}) d x$

خطوة 2.3.3.2.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{- 2} - x^{- 2 + 1} d x$

خطوة 2.3.3.2.3

أضف $- 2$ و $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{- 2} - x^{- 1} d x$

خطوة 2.3.4

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{- 2} d x + \int - x^{- 1} d x$

خطوة 2.3.5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{- 2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $- x^{- 1}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - x^{- 1} + C_{2} + \int - x^{- 1} d x$

خطوة 2.3.6

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\ln (| y |) + C_{1} = - x^{- 1} + C_{2} - \int x^{- 1} d x$

خطوة 2.3.7

تكامل $x^{- 1}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - x^{- 1} + C_{2} - (\ln (| x |) + C_{3})$

خطوة 2.3.8

بسّط.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{x} - \ln (| x |) + C_{4}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\ln (| y |) = - \frac{1}{x} - \ln (| x |) + C$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على لوغاريتم إلى المتعادل الأيسر.

$\ln (| y |) + \ln (| x |) = - \frac{1}{x} + C$

خطوة 3.2

استخدِم خاصية الضرب في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| y | | x |) = - \frac{1}{x} + C$

خطوة 3.3

لضرب القيم المطلقة، اضرب الحدود الموجودة داخل كل قيمة مطلقة.

$\ln (| y x |) = - \frac{1}{x} + C$

خطوة 3.4

لإيجاد قيمة $y$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (| y x |)} = e^{- \frac{1}{x} + C}$

خطوة 3.5

أعِد كتابة $\ln (| y x |) = - \frac{1}{x} + C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{1}{x} + C} = | y x |$

خطوة 3.6

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $| y x | = e^{- \frac{1}{x} + C}$ .

$| y x | = e^{- \frac{1}{x} + C}$

خطوة 3.6.2

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$y x = \pm e^{- \frac{1}{x} + C}$

خطوة 3.6.3

اقسِم كل حد في $y x = \pm e^{- \frac{1}{x} + C}$ على $x$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.3.1

اقسِم كل حد في $y x = \pm e^{- \frac{1}{x} + C}$ على $x$ .

$\frac{y x}{x} = \frac{\pm e^{- \frac{1}{x} + C}}{x}$

خطوة 3.6.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y x}{x} = \frac{\pm e^{- \frac{1}{x} + C}}{x}$

خطوة 3.6.3.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{\pm e^{- \frac{1}{x} + C}}{x}$

خطوة 3.6.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.3.3.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.3.3.1.1

لكتابة $C$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{x}{x}$ .

$y = \frac{\pm e^{- \frac{1}{x} + \frac{C x}{x}}}{x}$

خطوة 3.6.3.3.1.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \frac{\pm e^{\frac{- 1 + C x}{x}}}{x}$