الرياضيات الأساسية الأمثلة

$\frac{\frac{3 k^{2} - 2 k - 1}{3 k^{2} + 14 k + 11}}{\frac{9 k^{2} - 1}{3 k^{2} + 8 k - 11}}$

خطوة 1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$\frac{3 k^{2} - 2 k - 1}{3 k^{2} + 14 k + 11} \cdot \frac{3 k^{2} + 8 k - 11}{9 k^{2} - 1}$

خطوة 2

حلّل إلى عوامل بالتجميع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بالنسبة إلى متعدد حدود بالصيغة $a x^{2} + b x + c$ ، أعِد كتابة الحد الأوسط كمجموع من حدين حاصل ضربهما $a \cdot c = 3 \cdot - 1 = - 3$ ومجموعهما $b = - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أخرِج العامل $- 2$ من $- 2 k$ .

$\frac{3 k^{2} - 2 (k) - 1}{3 k^{2} + 14 k + 11} \cdot \frac{3 k^{2} + 8 k - 11}{9 k^{2} - 1}$

خطوة 2.1.2

أعِد كتابة $- 2$ في صورة $1$ زائد $- 3$

$\frac{3 k^{2} + (1 - 3) k - 1}{3 k^{2} + 14 k + 11} \cdot \frac{3 k^{2} + 8 k - 11}{9 k^{2} - 1}$

خطوة 2.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{3 k^{2} + 1 k - 3 k - 1}{3 k^{2} + 14 k + 11} \cdot \frac{3 k^{2} + 8 k - 11}{9 k^{2} - 1}$

خطوة 2.1.4

اضرب $k$ في $1$ .

$\frac{3 k^{2} + k - 3 k - 1}{3 k^{2} + 14 k + 11} \cdot \frac{3 k^{2} + 8 k - 11}{9 k^{2} - 1}$

خطوة 2.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$\frac{(3 k^{2} + k) - 3 k - 1}{3 k^{2} + 14 k + 11} \cdot \frac{3 k^{2} + 8 k - 11}{9 k^{2} - 1}$

خطوة 2.2.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$\frac{k (3 k + 1) - (3 k + 1)}{3 k^{2} + 14 k + 11} \cdot \frac{3 k^{2} + 8 k - 11}{9 k^{2} - 1}$

خطوة 2.3

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $3 k + 1$ .

$\frac{(3 k + 1) (k - 1)}{3 k^{2} + 14 k + 11} \cdot \frac{3 k^{2} + 8 k - 11}{9 k^{2} - 1}$

خطوة 3

حلّل إلى عوامل بالتجميع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بالنسبة إلى متعدد حدود بالصيغة $a x^{2} + b x + c$ ، أعِد كتابة الحد الأوسط كمجموع من حدين حاصل ضربهما $a \cdot c = 3 \cdot 11 = 33$ ومجموعهما $b = 14$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أخرِج العامل $14$ من $14 k$ .

$\frac{(3 k + 1) (k - 1)}{3 k^{2} + 14 (k) + 11} \cdot \frac{3 k^{2} + 8 k - 11}{9 k^{2} - 1}$

خطوة 3.1.2

أعِد كتابة $14$ في صورة $3$ زائد $11$

$\frac{(3 k + 1) (k - 1)}{3 k^{2} + (3 + 11) k + 11} \cdot \frac{3 k^{2} + 8 k - 11}{9 k^{2} - 1}$

خطوة 3.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{(3 k + 1) (k - 1)}{3 k^{2} + 3 k + 11 k + 11} \cdot \frac{3 k^{2} + 8 k - 11}{9 k^{2} - 1}$

خطوة 3.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$\frac{(3 k + 1) (k - 1)}{(3 k^{2} + 3 k) + 11 k + 11} \cdot \frac{3 k^{2} + 8 k - 11}{9 k^{2} - 1}$

خطوة 3.2.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$\frac{(3 k + 1) (k - 1)}{3 k (k + 1) + 11 (k + 1)} \cdot \frac{3 k^{2} + 8 k - 11}{9 k^{2} - 1}$

خطوة 3.3

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $k + 1$ .

$\frac{(3 k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (3 k + 11)} \cdot \frac{3 k^{2} + 8 k - 11}{9 k^{2} - 1}$

خطوة 4

حلّل إلى عوامل بالتجميع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بالنسبة إلى متعدد حدود بالصيغة $a x^{2} + b x + c$ ، أعِد كتابة الحد الأوسط كمجموع من حدين حاصل ضربهما $a \cdot c = 3 \cdot - 11 = - 33$ ومجموعهما $b = 8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

أخرِج العامل $8$ من $8 k$ .

$\frac{(3 k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (3 k + 11)} \cdot \frac{3 k^{2} + 8 (k) - 11}{9 k^{2} - 1}$

خطوة 4.1.2

أعِد كتابة $8$ في صورة $- 3$ زائد $11$

$\frac{(3 k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (3 k + 11)} \cdot \frac{3 k^{2} + (- 3 + 11) k - 11}{9 k^{2} - 1}$

خطوة 4.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{(3 k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (3 k + 11)} \cdot \frac{3 k^{2} - 3 k + 11 k - 11}{9 k^{2} - 1}$

خطوة 4.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$\frac{(3 k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (3 k + 11)} \cdot \frac{(3 k^{2} - 3 k) + 11 k - 11}{9 k^{2} - 1}$

خطوة 4.2.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$\frac{(3 k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (3 k + 11)} \cdot \frac{3 k (k - 1) + 11 (k - 1)}{9 k^{2} - 1}$

خطوة 4.3

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $k - 1$ .

$\frac{(3 k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (3 k + 11)} \cdot \frac{(k - 1) (3 k + 11)}{9 k^{2} - 1}$

خطوة 5

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أعِد كتابة $9 k^{2}$ بالصيغة ${(3 k)}^{2}$ .

$\frac{(3 k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (3 k + 11)} \cdot \frac{(k - 1) (3 k + 11)}{{(3 k)}^{2} - 1}$

خطوة 5.2

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$\frac{(3 k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (3 k + 11)} \cdot \frac{(k - 1) (3 k + 11)}{{(3 k)}^{2} - 1^{2}}$

خطوة 5.3

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = 3 k$ و $b = 1$ .

$\frac{(3 k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (3 k + 11)} \cdot \frac{(k - 1) (3 k + 11)}{(3 k + 1) (3 k - 1)}$

خطوة 6

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3 k + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{(3 k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (3 k + 11)} \cdot \frac{(k - 1) (3 k + 11)}{(3 k + 1) (3 k - 1)}$

خطوة 6.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{k - 1}{(k + 1) (3 k + 11)} \cdot \frac{(k - 1) (3 k + 11)}{3 k - 1}$

خطوة 6.2

ألغِ العامل المشترك لـ $3 k + 11$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

أخرِج العامل $3 k + 11$ من $(k + 1) (3 k + 11)$ .

$\frac{k - 1}{(3 k + 11) (k + 1)} \cdot \frac{(k - 1) (3 k + 11)}{3 k - 1}$

خطوة 6.2.2

أخرِج العامل $3 k + 11$ من $(k - 1) (3 k + 11)$ .

$\frac{k - 1}{(3 k + 11) (k + 1)} \cdot \frac{(3 k + 11) (k - 1)}{3 k - 1}$

خطوة 6.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{k - 1}{(3 k + 11) (k + 1)} \cdot \frac{(3 k + 11) (k - 1)}{3 k - 1}$

خطوة 6.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{k - 1}{k + 1} \cdot \frac{k - 1}{3 k - 1}$

خطوة 6.3

اضرب $\frac{k - 1}{k + 1}$ في $\frac{k - 1}{3 k - 1}$ .

$\frac{(k - 1) (k - 1)}{(k + 1) (3 k - 1)}$

خطوة 7

ارفع $k - 1$ إلى القوة $1$ .

$\frac{{(k - 1)}^{1} (k - 1)}{(k + 1) (3 k - 1)}$

خطوة 8

ارفع $k - 1$ إلى القوة $1$ .

$\frac{{(k - 1)}^{1} {(k - 1)}^{1}}{(k + 1) (3 k - 1)}$

خطوة 9

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{{(k - 1)}^{1 + 1}}{(k + 1) (3 k - 1)}$

خطوة 10

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{{(k - 1)}^{2}}{(k + 1) (3 k - 1)}$