الرياضيات الأساسية الأمثلة

$\frac{\sqrt{3} (\cos (315) + i \sin (315))}{\sqrt{6} (\cos (45) + i \sin (45))}$

خطوة 1

اجمع $\sqrt{3}$ و $\sqrt{6}$ في جذر واحد.

$\frac{\sqrt{\frac{3}{6}} (\cos (315) + i \sin (315))}{\cos (45) + i \sin (45)}$

خطوة 2

احذِف العامل المشترك لـ $3$ و $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$\frac{\sqrt{\frac{3 (1)}{6}} (\cos (315) + i \sin (315))}{\cos (45) + i \sin (45)}$

خطوة 2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أخرِج العامل $3$ من $6$ .

$\frac{\sqrt{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}} (\cos (315) + i \sin (315))}{\cos (45) + i \sin (45)}$

خطوة 2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\sqrt{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}} (\cos (315) + i \sin (315))}{\cos (45) + i \sin (45)}$

خطوة 2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{\sqrt{\frac{1}{2}} (\cos (315) + i \sin (315))}{\cos (45) + i \sin (45)}$

خطوة 3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول.

$\frac{\sqrt{\frac{1}{2}} (\cos (45) + i \sin (315))}{\cos (45) + i \sin (45)}$

خطوة 3.2

القيمة الدقيقة لـ $\cos (45)$ هي $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{\frac{1}{2}} (\frac{\sqrt{2}}{2} + i \sin (315))}{\cos (45) + i \sin (45)}$

خطوة 3.3

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن الجيب سالب في الربع الرابع.

$\frac{\sqrt{\frac{1}{2}} (\frac{\sqrt{2}}{2} + i (- \sin (45)))}{\cos (45) + i \sin (45)}$

خطوة 3.4

القيمة الدقيقة لـ $\sin (45)$ هي $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{\frac{1}{2}} (\frac{\sqrt{2}}{2} + i (- \frac{\sqrt{2}}{2}))}{\cos (45) + i \sin (45)}$

خطوة 3.5

اجمع $i$ و $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{\frac{1}{2}} (\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{i \sqrt{2}}{2})}{\cos (45) + i \sin (45)}$

خطوة 3.6

أعِد كتابة $\sqrt{\frac{1}{2}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}} (\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{i \sqrt{2}}{2})}{\cos (45) + i \sin (45)}$

خطوة 3.7

أي جذر لـ $1$ هو $1$ .

$\frac{\frac{1}{\sqrt{2}} (\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{i \sqrt{2}}{2})}{\cos (45) + i \sin (45)}$

خطوة 3.8

اضرب $\frac{1}{\sqrt{2}}$ في $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} (\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{i \sqrt{2}}{2})}{\cos (45) + i \sin (45)}$

خطوة 3.9

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.1

اضرب $\frac{1}{\sqrt{2}}$ في $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} (\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{i \sqrt{2}}{2})}{\cos (45) + i \sin (45)}$

خطوة 3.9.2

ارفع $\sqrt{2}$ إلى القوة $1$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}} (\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{i \sqrt{2}}{2})}{\cos (45) + i \sin (45)}$

خطوة 3.9.3

ارفع $\sqrt{2}$ إلى القوة $1$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}} (\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{i \sqrt{2}}{2})}{\cos (45) + i \sin (45)}$

خطوة 3.9.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} (\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{i \sqrt{2}}{2})}{\cos (45) + i \sin (45)}$

خطوة 3.9.5

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} (\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{i \sqrt{2}}{2})}{\cos (45) + i \sin (45)}$

خطوة 3.9.6

أعِد كتابة ${\sqrt{2}}^{2}$ بالصيغة $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{2}$ في صورة $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{i \sqrt{2}}{2})}{\cos (45) + i \sin (45)}$

خطوة 3.9.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} (\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{i \sqrt{2}}{2})}{\cos (45) + i \sin (45)}$

خطوة 3.9.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} (\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{i \sqrt{2}}{2})}{\cos (45) + i \sin (45)}$

خطوة 3.9.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} (\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{i \sqrt{2}}{2})}{\cos (45) + i \sin (45)}$

خطوة 3.9.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2^{1}} (\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{i \sqrt{2}}{2})}{\cos (45) + i \sin (45)}$

خطوة 3.9.6.5

احسِب قيمة الأُس.

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{i \sqrt{2}}{2})}{\cos (45) + i \sin (45)}$

خطوة 3.10

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2}}{2}}{\cos (45) + i \sin (45)}$

خطوة 4

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

القيمة الدقيقة لـ $\cos (45)$ هي $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2} + i \sin (45)}$

خطوة 4.2

القيمة الدقيقة لـ $\sin (45)$ هي $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2}}$

خطوة 4.3

اجمع $i$ و $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{i \sqrt{2}}{2}}$

خطوة 4.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

خطوة 5

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اضرب $\frac{\sqrt{2}}{2}$ في $\frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2} (\sqrt{2} - i \sqrt{2})}{2 \cdot 2}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

خطوة 5.2

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2} (\sqrt{2} - i \sqrt{2})}{4}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

خطوة 6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{\frac{\sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{2} (- i \sqrt{2})}{4}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

خطوة 6.2

اجمع باستخدام قاعدة ضرب الجذور.

$\frac{\frac{\sqrt{2 \cdot 2} + \sqrt{2} (- i \sqrt{2})}{4}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

خطوة 6.3

اضرب $\sqrt{2} (- i \sqrt{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

ارفع $\sqrt{2}$ إلى القوة $1$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2 \cdot 2} - i ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}{4}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

خطوة 6.3.2

ارفع $\sqrt{2}$ إلى القوة $1$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2 \cdot 2} - i ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}{4}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

خطوة 6.3.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{\frac{\sqrt{2 \cdot 2} - i {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{4}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

خطوة 6.3.4

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2 \cdot 2} - i {\sqrt{2}}^{2}}{4}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

خطوة 6.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{\frac{\sqrt{4} - i {\sqrt{2}}^{2}}{4}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

خطوة 6.4.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2^{2}} - i {\sqrt{2}}^{2}}{4}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

خطوة 6.4.3

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$\frac{\frac{2 - i {\sqrt{2}}^{2}}{4}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

خطوة 6.4.4

أعِد كتابة ${\sqrt{2}}^{2}$ بالصيغة $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.4.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{2}$ في صورة $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{2 - i {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

خطوة 6.4.4.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{2 - i \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

خطوة 6.4.4.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\frac{\frac{2 - i \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{4}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

خطوة 6.4.4.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.4.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\frac{2 - i \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{4}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

خطوة 6.4.4.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{\frac{2 - i \cdot 2^{1}}{4}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

خطوة 6.4.4.5

احسِب قيمة الأُس.

$\frac{\frac{2 - i \cdot 2}{4}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

خطوة 6.4.5

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{\frac{2 - 2 i}{4}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

خطوة 6.5

احذِف العامل المشترك لـ $2 - 2 i$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{\frac{2 (1) - 2 i}{4}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

خطوة 6.5.2

أخرِج العامل $2$ من $- 2 i$ .

$\frac{\frac{2 (1) + 2 (- i)}{4}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

خطوة 6.5.3

أخرِج العامل $2$ من $2 (1) + 2 (- i)$ .

$\frac{\frac{2 (1 - i)}{4}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

خطوة 6.5.4

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.4.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$\frac{\frac{2 (1 - i)}{2 \cdot 2}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

خطوة 6.5.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\frac{2 (1 - i)}{2 \cdot 2}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

خطوة 6.5.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{\frac{1 - i}{2}}{\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}}$

خطوة 7

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$\frac{1 - i}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}$

خطوة 8

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1 - i}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}$

خطوة 8.2

أعِد كتابة العبارة.

$(1 - i) \frac{1}{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}$

خطوة 9

اضرب $\frac{1}{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}$ في $\frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2}}{\sqrt{2} - i \sqrt{2}}$ .

$(1 - i) (\frac{1}{\sqrt{2} + i \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2}}{\sqrt{2} - i \sqrt{2}})$

خطوة 10

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

اضرب $\frac{1}{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}$ في $\frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2}}{\sqrt{2} - i \sqrt{2}}$ .

$(1 - i) \frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2}}{(\sqrt{2} + i \sqrt{2}) (\sqrt{2} - i \sqrt{2})}$

خطوة 10.2

وسّع القاسم باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

$(1 - i) \frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2} - i {\sqrt{2}}^{2} + i {\sqrt{2}}^{2} - i^{2} {\sqrt{2}}^{2}}$

خطوة 10.3

بسّط.

$(1 - i) \frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2}}{4}$

خطوة 10.4

طبّق خاصية التوزيع.

$1 \frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2}}{4} - i \frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2}}{4}$

خطوة 10.5

اضرب $\frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2}}{4}$ في $1$ .

$\frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2}}{4} - i \frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2}}{4}$

خطوة 10.6

اجمع $\frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2}}{4}$ و $i$ .

$\frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2}}{4} - \frac{(\sqrt{2} - i \sqrt{2}) i}{4}$

خطوة 10.7

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2} - (\sqrt{2} - i \sqrt{2}) i}{4}$

خطوة 11

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2} + (- \sqrt{2} - (- i \sqrt{2})) i}{4}$

خطوة 11.2

اضرب $- (- i \sqrt{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2} + (- \sqrt{2} + 1 (i \sqrt{2})) i}{4}$

خطوة 11.2.2

اضرب $\sqrt{2}$ في $1$ .

$\frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2} + (- \sqrt{2} + \sqrt{2} i) i}{4}$

خطوة 11.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2} - \sqrt{2} i + \sqrt{2} i i}{4}$

خطوة 11.4

اضرب $\sqrt{2} i i$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.4.1

ارفع $i$ إلى القوة $1$ .

$\frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2} - \sqrt{2} i + \sqrt{2} (i^{1} i)}{4}$

خطوة 11.4.2

ارفع $i$ إلى القوة $1$ .

$\frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2} - \sqrt{2} i + \sqrt{2} (i^{1} i^{1})}{4}$

خطوة 11.4.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2} - \sqrt{2} i + \sqrt{2} i^{1 + 1}}{4}$

خطوة 11.4.4

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2} - \sqrt{2} i + \sqrt{2} i^{2}}{4}$

خطوة 11.5

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.5.1

أعِد كتابة $i^{2}$ بالصيغة $- 1$ .

$\frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2} - \sqrt{2} i + \sqrt{2} \cdot - 1}{4}$

خطوة 11.5.2

انقُل $- 1$ إلى يسار $\sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2} - \sqrt{2} i - 1 \cdot \sqrt{2}}{4}$

خطوة 11.5.3

أعِد كتابة $- 1 \sqrt{2}$ بالصيغة $- \sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2} - \sqrt{2} i - \sqrt{2}}{4}$

خطوة 12

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

اطرح $\sqrt{2}$ من $\sqrt{2}$ .

$\frac{- i \sqrt{2} - \sqrt{2} i + 0}{4}$

خطوة 12.2

أعِد ترتيب عوامل $- \sqrt{2} i$ .

$\frac{- i \sqrt{2} - i \sqrt{2} + 0}{4}$

خطوة 12.3

اطرح $i \sqrt{2}$ من $- i \sqrt{2}$ .

$\frac{- 2 i \sqrt{2} + 0}{4}$

خطوة 12.4

أضف $- 2 i \sqrt{2}$ و $0$ .

$\frac{- 2 i \sqrt{2}}{4}$

خطوة 12.5

احذِف العامل المشترك لـ $- 2$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.5.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2 i \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (- i \sqrt{2})}{4}$

خطوة 12.5.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.5.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$\frac{2 (- i \sqrt{2})}{2 (2)}$

خطوة 12.5.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (- i \sqrt{2})}{2 \cdot 2}$

خطوة 12.5.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- i \sqrt{2}}{2}$

خطوة 12.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{i \sqrt{2}}{2}$