الرياضيات الأساسية الأمثلة

$\frac{2^{n} + 2^{- n}}{2} = \frac{1 + 4^{n}}{2^{n} + 1}$

خطوة 1

خُذ اللوغاريتم لكلا المتعادلين.

$\ln (\frac{2^{n} + 2^{- n}}{2}) = \ln (\frac{1 + 4^{n}}{2^{n} + 1})$

خطوة 2

أعِد كتابة $\ln (\frac{2^{n} + 2^{- n}}{2})$ بالصيغة $\ln (2^{n} + 2^{- n}) - \ln (2)$ .

$\ln (2^{n} + 2^{- n}) - \ln (2) = \ln (\frac{1 + 4^{n}}{2^{n} + 1})$

خطوة 3

أعِد كتابة $\ln (\frac{1 + 4^{n}}{2^{n} + 1})$ بالصيغة $\ln (1 + 4^{n}) - \ln (2^{n} + 1)$ .

$\ln (2^{n} + 2^{- n}) - \ln (2) = \ln (1 + 4^{n}) - \ln (2^{n} + 1)$

خطوة 4

أوجِد قيمة $n$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{2^{n} + 2^{- n}}{2}) = \ln (1 + 4^{n}) - \ln (2^{n} + 1)$

خطوة 4.2

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{2^{n} + 2^{- n}}{2}) = \ln (\frac{1 + 4^{n}}{2^{n} + 1})$

خطوة 4.3

انقُل كل الحدود التي تحتوي على $n$ إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

اطرح $\ln (\frac{1 + 4^{n}}{2^{n} + 1})$ من كلا المتعادلين.

$\ln (\frac{2^{n} + 2^{- n}}{2}) - \ln (\frac{1 + 4^{n}}{2^{n} + 1}) = 0$

خطوة 4.3.2

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{\frac{2^{n} + 2^{- n}}{2}}{\frac{1 + 4^{n}}{2^{n} + 1}}) = 0$

خطوة 4.3.3

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$\ln (\frac{2^{n} + 2^{- n}}{2} \cdot \frac{2^{n} + 1}{1 + 4^{n}}) = 0$

خطوة 4.3.4

اضرب $\frac{2^{n} + 2^{- n}}{2}$ في $\frac{2^{n} + 1}{1 + 4^{n}}$ .

$\ln (\frac{(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1)}{2 (1 + 4^{n})}) = 0$

خطوة 4.4

أعِد كتابة $\ln (\frac{(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1)}{2 (1 + 4^{n})}) = 0$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ أعداد حقيقية موجبة وكان $b$ $\neq$ $1$ ، فإن $\log_{b} (x) = y$ مكافئة لـ $b^{y} = x$ .

$e^{0} = \frac{(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1)}{2 (1 + 4^{n})}$

خطوة 4.5

استخدِم الضرب التبادلي لحذف الكسر.

$(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1) = e^{0} (2 (1 + 4^{n}))$

خطوة 4.6

بسّط $e^{0} (2 (1 + 4^{n}))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.1

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.1.1

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1) = 1 (2 (1 + 4^{n}))$

خطوة 4.6.1.2

اضرب $2 (1 + 4^{n})$ في $1$ .

$(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1) = 2 (1 + 4^{n})$

خطوة 4.6.2

طبّق خاصية التوزيع.

$(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1) = 2 \cdot 1 + 2 \cdot 4^{n}$

خطوة 4.6.3

اضرب $2$ في $1$ .

$(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1) = 2 + 2 \cdot 4^{n}$

خطوة 4.6.4

اضرب $2 \cdot 4^{n}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.4.1

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1) = 2 + 2 \cdot {(2^{2})}^{n}$

خطوة 4.6.4.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1) = 2 + 2 \cdot 2^{2 n}$

خطوة 4.6.4.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1) = 2 + 2^{1 + 2 n}$

خطوة 4.7

انقُل كل الحدود التي تحتوي على $n$ إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.1

اطرح $2^{1 + 2 n}$ من كلا المتعادلين.

$(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1) - 2^{1 + 2 n} = 2$

خطوة 4.7.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.2.1

وسّع $(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.2.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$2^{n} (2^{n} + 1) + 2^{- n} (2^{n} + 1) - 2^{1 + 2 n} = 2$

خطوة 4.7.2.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$2^{n} \cdot 2^{n} + 2^{n} \cdot 1 + 2^{- n} (2^{n} + 1) - 2^{1 + 2 n} = 2$

خطوة 4.7.2.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$2^{n} \cdot 2^{n} + 2^{n} \cdot 1 + 2^{- n} \cdot 2^{n} + 2^{- n} \cdot 1 - 2^{1 + 2 n} = 2$

خطوة 4.7.2.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.2.2.1

اضرب $2^{n}$ في $2^{n}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.2.2.1.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$2^{n + n} + 2^{n} \cdot 1 + 2^{- n} \cdot 2^{n} + 2^{- n} \cdot 1 - 2^{1 + 2 n} = 2$

خطوة 4.7.2.2.1.2

أضف $n$ و $n$ .

$2^{2 n} + 2^{n} \cdot 1 + 2^{- n} \cdot 2^{n} + 2^{- n} \cdot 1 - 2^{1 + 2 n} = 2$

خطوة 4.7.2.2.2

اضرب $2^{n}$ في $1$ .

$2^{2 n} + 2^{n} + 2^{- n} \cdot 2^{n} + 2^{- n} \cdot 1 - 2^{1 + 2 n} = 2$

خطوة 4.7.2.2.3

اضرب $2^{- n}$ في $2^{n}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.2.2.3.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$2^{2 n} + 2^{n} + 2^{- n + n} + 2^{- n} \cdot 1 - 2^{1 + 2 n} = 2$

خطوة 4.7.2.2.3.2

أضف $- n$ و $n$ .

$2^{2 n} + 2^{n} + 2^{0} + 2^{- n} \cdot 1 - 2^{1 + 2 n} = 2$

خطوة 4.7.2.2.4

بسّط $2^{0}$ .

$2^{2 n} + 2^{n} + 1 + 2^{- n} \cdot 1 - 2^{1 + 2 n} = 2$

خطوة 4.7.2.2.5

اضرب $2^{- n}$ في $1$ .

$2^{2 n} + 2^{n} + 1 + 2^{- n} - 2^{1 + 2 n} = 2$

خطوة 4.8

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $n$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.8.1

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$2^{2 n} + 2^{n} + 2^{- n} - 2^{1 + 2 n} = 2 - 1$

خطوة 4.8.2

اطرح $1$ من $2$ .

$2^{2 n} + 2^{n} + 2^{- n} - 2^{1 + 2 n} = 1$

خطوة 4.9

أعِد كتابة $2^{1 + 2 n}$ بالصيغة $2^{1} \cdot 2^{2 n}$ .

$2^{2 n} + 2^{n} + 2^{- n} - (2 \cdot 2^{2 n}) = 1$

خطوة 4.10

أعِد كتابة $2^{2 n}$ في صورة أُس.

${(2^{n})}^{2} + 2^{n} + 2^{- n} - (2 \cdot 2^{2 n}) = 1$

خطوة 4.11

أعِد كتابة $2^{- n}$ في صورة أُس.

${(2^{n})}^{2} + 2^{n} + {(2^{n})}^{- 1} - (2 \cdot 2^{2 n}) = 1$

خطوة 4.12

أعِد كتابة $2^{2 n}$ في صورة أُس.

${(2^{n})}^{2} + 2^{n} + {(2^{n})}^{- 1} - (2 \cdot {(2^{n})}^{2}) = 1$

خطوة 4.13

احذِف الأقواس.

${(2^{n})}^{2} + 2^{n} + {(2^{n})}^{- 1} - 2 {(2^{n})}^{2} = 1$

خطوة 4.14

عوّض بقيمة $2^{n}$ التي تساوي $u$ .

$u^{2} + u + u^{- 1} - 2 u^{2} = 1$

خطوة 4.15

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.15.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u^{2} + u + \frac{1}{u} - 2 u^{2} = 1$

خطوة 4.15.2

احسِب قيمة الأُس.

$u^{2} + u + \frac{1}{u} - 1 \cdot (2 u^{2}) = 1$

خطوة 4.15.3

اضرب $- 1$ في $2$ .

$u^{2} + u + \frac{1}{u} - 2 u^{2} = 1$

خطوة 4.16

اطرح $2 u^{2}$ من $u^{2}$ .

$- u^{2} + u + \frac{1}{u} = 1$

خطوة 4.17

أوجِد قيمة $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.17.1

أوجِد القاسم المشترك الأصغر للحدود في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.17.1.1

يُعد إيجاد القاسم المشترك الأصغر لقائمة القيم بمثابة إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لقواسم تلك القيم.

$1, 1, u, 1$

خطوة 4.17.1.2

المضاعف المشترك الأصغر لإحدى العبارات ولأي منها هو العبارة.

$u$

خطوة 4.17.2

اضرب كل حد في $- u^{2} + u + \frac{1}{u} = 1$ في $u$ لحذف الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.17.2.1

اضرب كل حد في $- u^{2} + u + \frac{1}{u} = 1$ في $u$ .

$- u^{2} u + u \cdot u + \frac{1}{u} u = 1 u$

خطوة 4.17.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.17.2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.17.2.2.1.1

اضرب $u^{2}$ في $u$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.17.2.2.1.1.1

انقُل $u$ .

$- (u \cdot u^{2}) + u \cdot u + \frac{1}{u} u = 1 u$

خطوة 4.17.2.2.1.1.2

اضرب $u$ في $u^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.17.2.2.1.1.2.1

ارفع $u$ إلى القوة $1$ .

$- (u^{1} u^{2}) + u \cdot u + \frac{1}{u} u = 1 u$

خطوة 4.17.2.2.1.1.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- u^{1 + 2} + u \cdot u + \frac{1}{u} u = 1 u$

خطوة 4.17.2.2.1.1.3

أضف $1$ و $2$ .

$- u^{3} + u \cdot u + \frac{1}{u} u = 1 u$

خطوة 4.17.2.2.1.2

اضرب $u$ في $u$ .

$- u^{3} + u^{2} + \frac{1}{u} u = 1 u$

خطوة 4.17.2.2.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.17.2.2.1.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$- u^{3} + u^{2} + \frac{1}{u} u = 1 u$

خطوة 4.17.2.2.1.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$- u^{3} + u^{2} + 1 = 1 u$

خطوة 4.17.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.17.2.3.1

اضرب $u$ في $1$ .

$- u^{3} + u^{2} + 1 = u$

خطوة 4.17.3

أوجِد حل المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.17.3.1

اطرح $u$ من كلا المتعادلين.

$- u^{3} + u^{2} + 1 - u = 0$

خطوة 4.17.3.2

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.17.3.2.1

أعِد ترتيب الحدود.

$- u^{3} + u^{2} - u + 1 = 0$

خطوة 4.17.3.2.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.17.3.2.2.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$(- u^{3} + u^{2}) - u + 1 = 0$

خطوة 4.17.3.2.2.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$u^{2} (- u + 1) + 1 (- u + 1) = 0$

خطوة 4.17.3.2.3

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $- u + 1$ .

$(- u + 1) (u^{2} + 1) = 0$

خطوة 4.17.3.3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$- u + 1 = 0$

$u^{2} + 1 = 0$

خطوة 4.17.3.4

عيّن قيمة العبارة $- u + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.17.3.4.1

عيّن قيمة $- u + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- u + 1 = 0$

خطوة 4.17.3.4.2

أوجِد قيمة $u$ في $- u + 1 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.17.3.4.2.1

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$- u = - 1$

خطوة 4.17.3.4.2.2

اقسِم كل حد في $- u = - 1$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.17.3.4.2.2.1

اقسِم كل حد في $- u = - 1$ على $- 1$ .

$\frac{- u}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

خطوة 4.17.3.4.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.17.3.4.2.2.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{u}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

خطوة 4.17.3.4.2.2.2.2

اقسِم $u$ على $1$ .

$u = \frac{- 1}{- 1}$

خطوة 4.17.3.4.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.17.3.4.2.2.3.1

اقسِم $- 1$ على $- 1$ .

$u = 1$

خطوة 4.17.3.5

عيّن قيمة العبارة $u^{2} + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.17.3.5.1

عيّن قيمة $u^{2} + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$u^{2} + 1 = 0$

خطوة 4.17.3.5.2

أوجِد قيمة $u$ في $u^{2} + 1 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.17.3.5.2.1

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$u^{2} = - 1$

خطوة 4.17.3.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$u = \pm \sqrt{- 1}$

خطوة 4.17.3.5.2.3

أعِد كتابة $\sqrt{- 1}$ بالصيغة $i$ .

$u = \pm i$

خطوة 4.17.3.5.2.4

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.17.3.5.2.4.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$u = i$

خطوة 4.17.3.5.2.4.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$u = - i$

خطوة 4.17.3.5.2.4.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$u = i, - i$

خطوة 4.17.3.6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(- u + 1) (u^{2} + 1) = 0$ صحيحة.

$u = 1, i, - i$

خطوة 4.18

عوّض بـ $1$ عن $u$ في $u = 2^{n}$ .

$1 = 2^{n}$

خطوة 4.19

أوجِد حل $1 = 2^{n}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.19.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $2^{n} = 1$ .

$2^{n} = 1$

خطوة 4.19.2

خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا المتعادلين لحذف المتغير من الأُس.

$\ln (2^{n}) = \ln (1)$

خطوة 4.19.3

وسّع $\ln (2^{n})$ بنقل $n$ خارج اللوغاريتم.

$n \ln (2) = \ln (1)$

خطوة 4.19.4

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.19.4.1

اللوغاريتم الطبيعي لـ $1$ يساوي $0$ .

$n \ln (2) = 0$

خطوة 4.19.5

اقسِم كل حد في $n \ln (2) = 0$ على $\ln (2)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.19.5.1

اقسِم كل حد في $n \ln (2) = 0$ على $\ln (2)$ .

$\frac{n \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{0}{\ln (2)}$

خطوة 4.19.5.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.19.5.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $\ln (2)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.19.5.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{n \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{0}{\ln (2)}$

خطوة 4.19.5.2.1.2

اقسِم $n$ على $1$ .

$n = \frac{0}{\ln (2)}$

خطوة 4.19.5.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.19.5.3.1

اقسِم $0$ على $\ln (2)$ .

$n = 0$

خطوة 4.20

عوّض بـ $i$ عن $u$ في $u = 2^{n}$ .

$i = 2^{n}$

خطوة 4.21

أوجِد حل $i = 2^{n}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.21.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $2^{n} = i$ .

$2^{n} = i$

خطوة 4.21.2

خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا المتعادلين لحذف المتغير من الأُس.

$\ln (2^{n}) = \ln (i)$

خطوة 4.21.3

وسّع $\ln (2^{n})$ بنقل $n$ خارج اللوغاريتم.

$n \ln (2) = \ln (i)$

خطوة 4.21.4

اقسِم كل حد في $n \ln (2) = \ln (i)$ على $\ln (2)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.21.4.1

اقسِم كل حد في $n \ln (2) = \ln (i)$ على $\ln (2)$ .

$\frac{n \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (i)}{\ln (2)}$

خطوة 4.21.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.21.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $\ln (2)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.21.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{n \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (i)}{\ln (2)}$

خطوة 4.21.4.2.1.2

اقسِم $n$ على $1$ .

$n = \frac{\ln (i)}{\ln (2)}$

خطوة 4.22

عوّض بـ $- i$ عن $u$ في $u = 2^{n}$ .

$- i = 2^{n}$

خطوة 4.23

أوجِد حل $- i = 2^{n}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.23.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $2^{n} = - i$ .

$2^{n} = - i$

خطوة 4.23.2

خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا المتعادلين لحذف المتغير من الأُس.

$\ln (2^{n}) = \ln (- i)$

خطوة 4.23.3

لا يمكن حل المعادلة لأن $\ln (- i)$ غير معرّفة.

غير معرّف

خطوة 4.23.4

لا يوجد حل لـ $2^{n} = - i$

لا يوجد حل

خطوة 4.24

اسرِد الحلول التي تجعل المعادلة صحيحة.

$n = 0, \frac{\ln (i)}{\ln (2)}$