الرياضيات الأساسية الأمثلة

$(9, - 2)$ , $(- 5, - 6)$

خطوة 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

خطوة 2

Find the dot product.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = 9 \cdot - 5 - 2 \cdot - 6$

خطوة 2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

اضرب $9$ في $- 5$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 45 - 2 \cdot - 6$

خطوة 2.2.1.2

اضرب $- 2$ في $- 6$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 45 + 12$

خطوة 2.2.2

أضف $- 45$ و $12$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 33$

خطوة 3

أوجِد مقدار $a⃗$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{9^{2} + {(- 2)}^{2}}$

خطوة 3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

ارفع $9$ إلى القوة $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{81 + {(- 2)}^{2}}$

خطوة 3.2.2

ارفع $- 2$ إلى القوة $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{81 + 4}$

خطوة 3.2.3

أضف $81$ و $4$ .

$| a⃗ | = \sqrt{85}$

خطوة 4

أوجِد مقدار $b⃗$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{{(- 5)}^{2} + {(- 6)}^{2}}$

خطوة 4.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

ارفع $- 5$ إلى القوة $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{25 + {(- 6)}^{2}}$

خطوة 4.2.2

ارفع $- 6$ إلى القوة $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{25 + 36}$

خطوة 4.2.3

أضف $25$ و $36$ .

$| b⃗ | = \sqrt{61}$

خطوة 5

عوّض بالقيم في القاعدة.

$θ = \arccos (\frac{- 33}{\sqrt{85} \sqrt{61}})$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

اجمع باستخدام قاعدة ضرب الجذور.

$θ = \arccos (\frac{- 33}{\sqrt{85 \cdot 61}})$

خطوة 6.1.2

اضرب $85$ في $61$ .

$θ = \arccos (\frac{- 33}{\sqrt{5185}})$

خطوة 6.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$θ = \arccos (- \frac{33}{\sqrt{5185}})$

خطوة 6.3

اضرب $\frac{33}{\sqrt{5185}}$ في $\frac{\sqrt{5185}}{\sqrt{5185}}$ .

$θ = \arccos (- (\frac{33}{\sqrt{5185}} \cdot \frac{\sqrt{5185}}{\sqrt{5185}}))$

خطوة 6.4

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

اضرب $\frac{33}{\sqrt{5185}}$ في $\frac{\sqrt{5185}}{\sqrt{5185}}$ .

$θ = \arccos (- \frac{33 \sqrt{5185}}{\sqrt{5185} \sqrt{5185}})$

خطوة 6.4.2

ارفع $\sqrt{5185}$ إلى القوة $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{33 \sqrt{5185}}{{\sqrt{5185}}^{1} \sqrt{5185}})$

خطوة 6.4.3

ارفع $\sqrt{5185}$ إلى القوة $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{33 \sqrt{5185}}{{\sqrt{5185}}^{1} {\sqrt{5185}}^{1}})$

خطوة 6.4.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$θ = \arccos (- \frac{33 \sqrt{5185}}{{\sqrt{5185}}^{1 + 1}})$

خطوة 6.4.5

أضف $1$ و $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{33 \sqrt{5185}}{{\sqrt{5185}}^{2}})$

خطوة 6.4.6

أعِد كتابة ${\sqrt{5185}}^{2}$ بالصيغة $5185$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{5185}$ في صورة $5185^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (- \frac{33 \sqrt{5185}}{{(5185^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

خطوة 6.4.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (- \frac{33 \sqrt{5185}}{5185^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

خطوة 6.4.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$θ = \arccos (- \frac{33 \sqrt{5185}}{5185^{\frac{2}{2}}})$

خطوة 6.4.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$θ = \arccos (- \frac{33 \sqrt{5185}}{5185^{\frac{2}{2}}})$

خطوة 6.4.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$θ = \arccos (- \frac{33 \sqrt{5185}}{5185^{1}})$

خطوة 6.4.6.5

احسِب قيمة الأُس.

$θ = \arccos (- \frac{33 \sqrt{5185}}{5185})$

خطوة 6.5

احسِب قيمة $\arccos (- \frac{33 \sqrt{5185}}{5185})$ .

$θ = 117.27676338$