الرياضيات الأساسية الأمثلة

$\frac{9}{a^{2}} + \frac{16}{a^{2} - 25} = 1$

خطوة 1

حلّل كل حد إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أعِد كتابة $25$ بالصيغة $5^{2}$ .

$\frac{9}{a^{2}} + \frac{16}{a^{2} - 5^{2}} = 1$

خطوة 1.2

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = a$ و $b = 5$ .

$\frac{9}{a^{2}} + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} = 1$

خطوة 2

أوجِد القاسم المشترك الأصغر للحدود في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

يُعد إيجاد القاسم المشترك الأصغر لقائمة القيم بمثابة إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لقواسم تلك القيم.

$a^{2}, (a + 5) (a - 5), 1$

خطوة 2.2

Since $a^{2}, (a + 5) (a - 5), 1$ contains both numbers and variables, there are four steps to find the LCM. Find LCM for the numeric, variable, and compound variable parts. Then, multiply them all together.

تتمثل خطوات إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لـ $a^{2}, (a + 5) (a - 5), 1$ فيما يلي:

1. أوجِد المضاعف المشترك الأصغر للجزء الرقمي $1, 1, 1$ .

2. أوجِد المضاعف المشترك الأصغر للجزء المتغير $a^{2}$ .

3. أوجِد المضاعف المشترك الأصغر للجزء المتغير المركب $a + 5, a - 5$ .

4. اضرب كل مضاعف مشترك أصغر معًا.

خطوة 2.3

المضاعف المشترك الأصغر هو أصغر عدد موجب يمكن قسمته على جميع الأعداد بالتساوي.

1. اكتب قائمة العوامل الأساسية لكل عدد.

2. اضرب كل عامل في أكبر عدد من مرات ظهوره في أي رقم.

خطوة 2.4

العدد $1$ ليس عددًا أوليًا لأن له عامل موجب واحد فقط، وهو العدد نفسه.

ليس أوليًا

خطوة 2.5

المضاعف المشترك الأصغر لـ $1, 1, 1$ هو حاصل ضرب كل العوامل الأساسية في أكبر عدد من المرات التي تظهر فيها في أي من العددين.

$1$

خطوة 2.6

عوامل $a^{2}$ هي $a \cdot a$ ، والتي تساوي حاصل ضرب $a$ في بعضها بمعدل $2$ من المرات.

$a^{2} = a \cdot a$

تحدث $a$ بمعدل $2$ من المرات.

خطوة 2.7

المضاعف المشترك الأصغر لـ $a^{2}$ هو حاصل ضرب كل العوامل الأساسية في أكبر عدد من المرات التي تظهر فيها في أي من الحدين.

$a \cdot a$

خطوة 2.8

اضرب $a$ في $a$ .

$a^{2}$

خطوة 2.9

عامل $a + 5$ هو $a + 5$ نفسها.

$(a + 5) = a + 5$

تحدث $(a + 5)$ بمعدل $1$ من المرات.

خطوة 2.10

عامل $a - 5$ هو $a - 5$ نفسها.

$(a - 5) = a - 5$

تحدث $(a - 5)$ بمعدل $1$ من المرات.

خطوة 2.11

المضاعف المشترك الأصغر لـ $a + 5, a - 5$ هو حاصل ضرب كل العوامل في أكبر عدد من المرات التي تظهر فيها في أي من الحدين.

$(a + 5) (a - 5)$

خطوة 2.12

المضاعف المشترك الأصغر $LCM$ لبعض الأعداد هو أصغر عدد تمثل الأعداد عوامله.

$a^{2} (a + 5) (a - 5)$

خطوة 3

اضرب كل حد في $\frac{9}{a^{2}} + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} = 1$ في $a^{2} (a + 5) (a - 5)$ لحذف الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كل حد في $\frac{9}{a^{2}} + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} = 1$ في $a^{2} (a + 5) (a - 5)$ .

$\frac{9}{a^{2}} (a^{2} (a + 5) (a - 5)) + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} (a^{2} (a + 5) (a - 5)) = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

خطوة 3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $a^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.1

أخرِج العامل $a^{2}$ من $a^{2} (a + 5) (a - 5)$ .

$\frac{9}{a^{2}} (a^{2} ((a + 5) (a - 5))) + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} (a^{2} (a + 5) (a - 5)) = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

خطوة 3.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{9}{a^{2}} (a^{2} ((a + 5) (a - 5))) + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} (a^{2} (a + 5) (a - 5)) = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

خطوة 3.2.1.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$9 ((a + 5) (a - 5)) + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} (a^{2} (a + 5) (a - 5)) = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

خطوة 3.2.1.2

وسّع $(a + 5) (a - 5)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$9 (a (a - 5) + 5 (a - 5)) + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} (a^{2} (a + 5) (a - 5)) = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

خطوة 3.2.1.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$9 (a \cdot a + a \cdot - 5 + 5 (a - 5)) + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} (a^{2} (a + 5) (a - 5)) = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

خطوة 3.2.1.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$9 (a \cdot a + a \cdot - 5 + 5 a + 5 \cdot - 5) + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} (a^{2} (a + 5) (a - 5)) = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

خطوة 3.2.1.3

جمّع الحدود المتعاكسة في $a \cdot a + a \cdot - 5 + 5 a + 5 \cdot - 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.3.1

أعِد ترتيب العوامل في الحدين $a \cdot - 5$ و $5 a$ .

$9 (a \cdot a - 5 a + 5 a + 5 \cdot - 5) + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} (a^{2} (a + 5) (a - 5)) = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

خطوة 3.2.1.3.2

أضف $- 5 a$ و $5 a$ .

$9 (a \cdot a + 0 + 5 \cdot - 5) + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} (a^{2} (a + 5) (a - 5)) = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

خطوة 3.2.1.3.3

أضف $a \cdot a$ و $0$ .

$9 (a \cdot a + 5 \cdot - 5) + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} (a^{2} (a + 5) (a - 5)) = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

خطوة 3.2.1.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.4.1

اضرب $a$ في $a$ .

$9 (a^{2} + 5 \cdot - 5) + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} (a^{2} (a + 5) (a - 5)) = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

خطوة 3.2.1.4.2

اضرب $5$ في $- 5$ .

$9 (a^{2} - 25) + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} (a^{2} (a + 5) (a - 5)) = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

خطوة 3.2.1.5

طبّق خاصية التوزيع.

$9 a^{2} + 9 \cdot - 25 + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} (a^{2} (a + 5) (a - 5)) = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

خطوة 3.2.1.6

اضرب $9$ في $- 25$ .

$9 a^{2} - 225 + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} (a^{2} (a + 5) (a - 5)) = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

خطوة 3.2.1.7

ألغِ العامل المشترك لـ $(a + 5) (a - 5)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.7.1

أخرِج العامل $(a + 5) (a - 5)$ من $a^{2} (a + 5) (a - 5)$ .

$9 a^{2} - 225 + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} ((a + 5) (a - 5) (a^{2})) = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

خطوة 3.2.1.7.2

ألغِ العامل المشترك.

$9 a^{2} - 225 + \frac{16}{(a + 5) (a - 5)} ((a + 5) (a - 5) a^{2}) = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

خطوة 3.2.1.7.3

أعِد كتابة العبارة.

$9 a^{2} - 225 + 16 a^{2} = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

خطوة 3.2.2

أضف $9 a^{2}$ و $16 a^{2}$ .

$25 a^{2} - 225 = 1 (a^{2} (a + 5) (a - 5))$

خطوة 3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

اضرب $a^{2} (a + 5) (a - 5)$ في $1$ .

$25 a^{2} - 225 = a^{2} (a + 5) (a - 5)$

خطوة 3.3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$25 a^{2} - 225 = (a^{2} a + a^{2} \cdot 5) (a - 5)$

خطوة 3.3.3

اضرب $a^{2}$ في $a$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1

اضرب $a^{2}$ في $a$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1.1

ارفع $a$ إلى القوة $1$ .

$25 a^{2} - 225 = (a^{2} a^{1} + a^{2} \cdot 5) (a - 5)$

خطوة 3.3.3.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$25 a^{2} - 225 = (a^{2 + 1} + a^{2} \cdot 5) (a - 5)$

خطوة 3.3.3.2

أضف $2$ و $1$ .

$25 a^{2} - 225 = (a^{3} + a^{2} \cdot 5) (a - 5)$

خطوة 3.3.4

انقُل $5$ إلى يسار $a^{2}$ .

$25 a^{2} - 225 = (a^{3} + 5 \cdot a^{2}) (a - 5)$

خطوة 3.3.5

وسّع $(a^{3} + 5 a^{2}) (a - 5)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$25 a^{2} - 225 = a^{3} (a - 5) + 5 a^{2} (a - 5)$

خطوة 3.3.5.2

طبّق خاصية التوزيع.

$25 a^{2} - 225 = a^{3} a + a^{3} \cdot - 5 + 5 a^{2} (a - 5)$

خطوة 3.3.5.3

طبّق خاصية التوزيع.

$25 a^{2} - 225 = a^{3} a + a^{3} \cdot - 5 + 5 a^{2} a + 5 a^{2} \cdot - 5$

خطوة 3.3.6

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.6.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.6.1.1

اضرب $a^{3}$ في $a$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.6.1.1.1

اضرب $a^{3}$ في $a$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.6.1.1.1.1

ارفع $a$ إلى القوة $1$ .

$25 a^{2} - 225 = a^{3} a^{1} + a^{3} \cdot - 5 + 5 a^{2} a + 5 a^{2} \cdot - 5$

خطوة 3.3.6.1.1.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$25 a^{2} - 225 = a^{3 + 1} + a^{3} \cdot - 5 + 5 a^{2} a + 5 a^{2} \cdot - 5$

خطوة 3.3.6.1.1.2

أضف $3$ و $1$ .

$25 a^{2} - 225 = a^{4} + a^{3} \cdot - 5 + 5 a^{2} a + 5 a^{2} \cdot - 5$

خطوة 3.3.6.1.2

انقُل $- 5$ إلى يسار $a^{3}$ .

$25 a^{2} - 225 = a^{4} - 5 \cdot a^{3} + 5 a^{2} a + 5 a^{2} \cdot - 5$

خطوة 3.3.6.1.3

اضرب $a^{2}$ في $a$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.6.1.3.1

انقُل $a$ .

$25 a^{2} - 225 = a^{4} - 5 a^{3} + 5 (a \cdot a^{2}) + 5 a^{2} \cdot - 5$

خطوة 3.3.6.1.3.2

اضرب $a$ في $a^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.6.1.3.2.1

ارفع $a$ إلى القوة $1$ .

$25 a^{2} - 225 = a^{4} - 5 a^{3} + 5 (a^{1} a^{2}) + 5 a^{2} \cdot - 5$

خطوة 3.3.6.1.3.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$25 a^{2} - 225 = a^{4} - 5 a^{3} + 5 a^{1 + 2} + 5 a^{2} \cdot - 5$

خطوة 3.3.6.1.3.3

أضف $1$ و $2$ .

$25 a^{2} - 225 = a^{4} - 5 a^{3} + 5 a^{3} + 5 a^{2} \cdot - 5$

خطوة 3.3.6.1.4

اضرب $- 5$ في $5$ .

$25 a^{2} - 225 = a^{4} - 5 a^{3} + 5 a^{3} - 25 a^{2}$

خطوة 3.3.6.2

أضف $- 5 a^{3}$ و $5 a^{3}$ .

$25 a^{2} - 225 = a^{4} + 0 - 25 a^{2}$

خطوة 3.3.6.3

أضف $a^{4}$ و $0$ .

$25 a^{2} - 225 = a^{4} - 25 a^{2}$

خطوة 4

أوجِد حل المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بما أن $a$ موجودة على المتعادل الأيمن، بدّل الأطراف بحيث تصبح على المتعادل الأيسر.

$a^{4} - 25 a^{2} = 25 a^{2} - 225$

خطوة 4.2

انقُل كل العبارات إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

اطرح $25 a^{2}$ من كلا المتعادلين.

$a^{4} - 25 a^{2} - 25 a^{2} = - 225$

خطوة 4.2.2

أضف $225$ إلى كلا المتعادلين.

$a^{4} - 25 a^{2} - 25 a^{2} + 225 = 0$

خطوة 4.3

اطرح $25 a^{2}$ من $- 25 a^{2}$ .

$a^{4} - 50 a^{2} + 225 = 0$

خطوة 4.4

عوّض بـ $u = a^{2}$ في المعادلة. سيسهّل ذلك استخدام الصيغة التربيعية.

$u^{2} - 50 u + 225 = 0$

$u = a^{2}$

خطوة 4.5

حلّل $u^{2} - 50 u + 225$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $225$ ومجموعهما $- 50$ .

$- 45, - 5$

خطوة 4.5.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$(u - 45) (u - 5) = 0$

خطوة 4.6

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$u - 45 = 0$

$u - 5 = 0$

خطوة 4.7

عيّن قيمة العبارة $u - 45$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.1

عيّن قيمة $u - 45$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$u - 45 = 0$

خطوة 4.7.2

أضف $45$ إلى كلا المتعادلين.

$u = 45$

خطوة 4.8

عيّن قيمة العبارة $u - 5$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.8.1

عيّن قيمة $u - 5$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$u - 5 = 0$

خطوة 4.8.2

أضف $5$ إلى كلا المتعادلين.

$u = 5$

خطوة 4.9

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(u - 45) (u - 5) = 0$ صحيحة.

$u = 45, 5$

خطوة 4.10

عوّض بالقيمة الحقيقية لـ $u = a^{2}$ مرة أخرى في المعادلة المحلولة.

$a^{2} = 45$

${(a^{2})}^{1} = 5$

خطوة 4.11

أوجِد قيمة $a$ في المعادلة الأولى.

$a^{2} = 45$

خطوة 4.12

أوجِد قيمة $a$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.12.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$a = \pm \sqrt{45}$

خطوة 4.12.2

بسّط $\pm \sqrt{45}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.12.2.1

أعِد كتابة $45$ بالصيغة $3^{2} \cdot 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.12.2.1.1

أخرِج العامل $9$ من $45$ .

$a = \pm \sqrt{9 (5)}$

خطوة 4.12.2.1.2

أعِد كتابة $9$ بالصيغة $3^{2}$ .

$a = \pm \sqrt{3^{2} \cdot 5}$

خطوة 4.12.2.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$a = \pm 3 \sqrt{5}$

خطوة 4.12.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.12.3.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$a = 3 \sqrt{5}$

خطوة 4.12.3.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$a = - 3 \sqrt{5}$

خطوة 4.12.3.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$a = 3 \sqrt{5}, - 3 \sqrt{5}$

خطوة 4.13

أوجِد قيمة $a$ في المعادلة الثانية.

${(a^{2})}^{1} = 5$

خطوة 4.14

أوجِد قيمة $a$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.14.1

احذِف الأقواس.

$a^{2} = 5$

خطوة 4.14.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$a = \pm \sqrt{5}$

خطوة 4.14.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.14.3.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$a = \sqrt{5}$

خطوة 4.14.3.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$a = - \sqrt{5}$

خطوة 4.14.3.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$a = \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

خطوة 4.15

حل $a^{4} - 50 a^{2} + 225 = 0$ هو $a = 3 \sqrt{5}, - 3 \sqrt{5}, \sqrt{5}, - \sqrt{5}$ .

$a = 3 \sqrt{5}, - 3 \sqrt{5}, \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

خطوة 5

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$a = 3 \sqrt{5}, - 3 \sqrt{5}, \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

الصيغة العشرية:

$a = 6.70820393 \dots, - 6.70820393 \dots, 2.23606797 \dots, - 2.23606797 \dots$