الرياضيات الأساسية الأمثلة

$- \frac{1}{27} = r^{3}$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $r^{3} = - \frac{1}{27}$ .

$r^{3} = - \frac{1}{27}$

خطوة 2

أضف $\frac{1}{27}$ إلى كلا المتعادلين.

$r^{3} + \frac{1}{27} = 0$

خطوة 3

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{3}$ .

$r^{3} + \frac{1^{3}}{27} = 0$

خطوة 3.2

أعِد كتابة $27$ بالصيغة $3^{3}$ .

$r^{3} + \frac{1^{3}}{3^{3}} = 0$

خطوة 3.3

أعِد كتابة $\frac{1^{3}}{3^{3}}$ بالصيغة ${(\frac{1}{3})}^{3}$ .

$r^{3} + {(\frac{1}{3})}^{3} = 0$

خطوة 3.4

بما أن كلا الحدّين هما مكعبان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة مجموع مكعبين، $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ حيث $a = r$ و $b = \frac{1}{3}$ .

$(r + \frac{1}{3}) (r^{2} - r \frac{1}{3} + {(\frac{1}{3})}^{2}) = 0$

خطوة 3.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

اجمع $\frac{1}{3}$ و $r$ .

$(r + \frac{1}{3}) (r^{2} - \frac{r}{3} + {(\frac{1}{3})}^{2}) = 0$

خطوة 3.5.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{3}$ .

$(r + \frac{1}{3}) (r^{2} - \frac{r}{3} + \frac{1^{2}}{3^{2}}) = 0$

خطوة 3.5.3

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$(r + \frac{1}{3}) (r^{2} - \frac{r}{3} + \frac{1}{3^{2}}) = 0$

خطوة 3.5.4

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$(r + \frac{1}{3}) (r^{2} - \frac{r}{3} + \frac{1}{9}) = 0$

خطوة 4

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$r + \frac{1}{3} = 0$

$r^{2} - \frac{r}{3} + \frac{1}{9} = 0$

خطوة 5

عيّن قيمة العبارة $r + \frac{1}{3}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $r$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عيّن قيمة $r + \frac{1}{3}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$r + \frac{1}{3} = 0$

خطوة 5.2

اطرح $\frac{1}{3}$ من كلا المتعادلين.

$r = - \frac{1}{3}$

خطوة 6

عيّن قيمة العبارة $r^{2} - \frac{r}{3} + \frac{1}{9}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $r$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

عيّن قيمة $r^{2} - \frac{r}{3} + \frac{1}{9}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$r^{2} - \frac{r}{3} + \frac{1}{9} = 0$

خطوة 6.2

أوجِد قيمة $r$ في $r^{2} - \frac{r}{3} + \frac{1}{9} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

اضرب في القاسم المشترك الأصغر $9$ ، ثم بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$9 r^{2} + 9 (- \frac{r}{3}) + 9 (\frac{1}{9}) = 0$

خطوة 6.2.1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.2.1.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{r}{3}$ إلى بسط الكسر.

$9 r^{2} + 9 (\frac{- r}{3}) + 9 (\frac{1}{9}) = 0$

خطوة 6.2.1.2.1.2

أخرِج العامل $3$ من $9$ .

$9 r^{2} + 3 (3) (\frac{- r}{3}) + 9 (\frac{1}{9}) = 0$

خطوة 6.2.1.2.1.3

ألغِ العامل المشترك.

$9 r^{2} + 3 \cdot (3 (\frac{- r}{3})) + 9 (\frac{1}{9}) = 0$

خطوة 6.2.1.2.1.4

أعِد كتابة العبارة.

$9 r^{2} + 3 (- r) + 9 (\frac{1}{9}) = 0$

خطوة 6.2.1.2.2

اضرب $- 1$ في $3$ .

$9 r^{2} - 3 r + 9 (\frac{1}{9}) = 0$

خطوة 6.2.1.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$9 r^{2} - 3 r + 9 (\frac{1}{9}) = 0$

خطوة 6.2.1.2.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$9 r^{2} - 3 r + 1 = 0$

خطوة 6.2.2

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 6.2.3

عوّض بقيم $a = 9$ و $b = - 3$ و $c = 1$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $r$ .

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (9 \cdot 1)}}{2 \cdot 9}$

خطوة 6.2.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.4.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.4.1.1

ارفع $- 3$ إلى القوة $2$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 9 \cdot 1}}{2 \cdot 9}$

خطوة 6.2.4.1.2

اضرب $- 4 \cdot 9 \cdot 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.4.1.2.1

اضرب $- 4$ في $9$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 36 \cdot 1}}{2 \cdot 9}$

خطوة 6.2.4.1.2.2

اضرب $- 36$ في $1$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2 \cdot 9}$

خطوة 6.2.4.1.3

اطرح $36$ من $9$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 9}$

خطوة 6.2.4.1.4

أعِد كتابة $- 27$ بالصيغة $- 1 (27)$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 9}$

خطوة 6.2.4.1.5

أعِد كتابة $\sqrt{- 1 (27)}$ بالصيغة $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 9}$

خطوة 6.2.4.1.6

أعِد كتابة $\sqrt{- 1}$ بالصيغة $i$ .

$r = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 9}$

خطوة 6.2.4.1.7

أعِد كتابة $27$ بالصيغة $3^{2} \cdot 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.4.1.7.1

أخرِج العامل $9$ من $27$ .

$r = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 9}$

خطوة 6.2.4.1.7.2

أعِد كتابة $9$ بالصيغة $3^{2}$ .

$r = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 9}$

خطوة 6.2.4.1.8

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$r = \frac{3 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 9}$

خطوة 6.2.4.1.9

انقُل $3$ إلى يسار $i$ .

$r = \frac{3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 9}$

خطوة 6.2.4.2

اضرب $2$ في $9$ .

$r = \frac{3 \pm 3 i \sqrt{3}}{18}$

خطوة 6.2.4.3

بسّط $\frac{3 \pm 3 i \sqrt{3}}{18}$ .

$r = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{6}$

خطوة 6.2.5

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$r = \frac{1 + i \sqrt{3}}{6}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{6}$

خطوة 7

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(r + \frac{1}{3}) (r^{2} - \frac{r}{3} + \frac{1}{9}) = 0$ صحيحة.

$r = - \frac{1}{3}, \frac{1 + i \sqrt{3}}{6}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{6}$