الرياضيات الأساسية الأمثلة

$w^{3} - w^{2} - 2 w = 40$

خطوة 1

اطرح $40$ من كلا المتعادلين.

$w^{3} - w^{2} - 2 w - 40 = 0$

خطوة 2

حلّل $w^{3} - w^{2} - 2 w - 40$ إلى عوامل باستخدام اختبار الجذور النسبية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

إذا كانت دالة متعددة الحدود لها معاملات عدد صحيح، فإن كل صفر نسبي سيكون بالصيغة $\frac{p}{q}$ والتي تكون فيها $p$ هي عامل الثابت و $q$ هي عامل المعامل الرئيسي.

$p = \pm 1, \pm 40, \pm 2, \pm 20, \pm 4, \pm 10, \pm 5, \pm 8$

$q = \pm 1$

خطوة 2.2

أوجِد كل تركيبة من تركيبات $\pm \frac{p}{q}$ . هذه هي الجذور المحتملة للدالة متعددة الحدود.

$\pm 1, \pm 40, \pm 2, \pm 20, \pm 4, \pm 10, \pm 5, \pm 8$

خطوة 2.3

عوّض بـ $4$ وبسّط العبارة. في هذه الحالة، العبارة تساوي $0$ ، إذن $4$ هو جذر متعدد الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

عوّض بـ $4$ في متعدد الحدود.

$4^{3} - 4^{2} - 2 \cdot 4 - 40$

خطوة 2.3.2

ارفع $4$ إلى القوة $3$ .

$64 - 4^{2} - 2 \cdot 4 - 40$

خطوة 2.3.3

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$64 - 1 \cdot 16 - 2 \cdot 4 - 40$

خطوة 2.3.4

اضرب $- 1$ في $16$ .

$64 - 16 - 2 \cdot 4 - 40$

خطوة 2.3.5

اطرح $16$ من $64$ .

$48 - 2 \cdot 4 - 40$

خطوة 2.3.6

اضرب $- 2$ في $4$ .

$48 - 8 - 40$

خطوة 2.3.7

اطرح $8$ من $48$ .

$40 - 40$

خطوة 2.3.8

اطرح $40$ من $40$ .

$0$

خطوة 2.4

بما أن $4$ جذر معروف، اقسِم متعدد الحدود على $w - 4$ لإيجاد ناتج قسمة متعدد الحدود. ويمكن بعد ذلك استخدام متعدد الحدود لإيجاد الجذور المتبقية.

$\frac{w^{3} - w^{2} - 2 w - 40}{w - 4}$

خطوة 2.5

اقسِم $w^{3} - w^{2} - 2 w - 40$ على $w - 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$w$

$4$

$w^{3}$

$w^{2}$

$2 w$

$40$

خطوة 2.5.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $w^{3}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $w$ .

					$w^{2}$
	$w$	-	$4$		$w^{3}$	-	$w^{2}$	-	$2 w$	-	$40$

خطوة 2.5.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$w^{2}$
$w$	-	$4$		$w^{3}$	-	$w^{2}$	-	$2 w$	-	$40$
			+	$w^{3}$	-	$4 w^{2}$

خطوة 2.5.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $w^{3} - 4 w^{2}$

				$w^{2}$
$w$	-	$4$		$w^{3}$	-	$w^{2}$	-	$2 w$	-	$40$
			-	$w^{3}$	+	$4 w^{2}$

خطوة 2.5.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$w^{2}$
$w$	-	$4$		$w^{3}$	-	$w^{2}$	-	$2 w$	-	$40$
			-	$w^{3}$	+	$4 w^{2}$
					+	$3 w^{2}$

خطوة 2.5.6

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

				$w^{2}$
$w$	-	$4$		$w^{3}$	-	$w^{2}$	-	$2 w$	-	$40$
			-	$w^{3}$	+	$4 w^{2}$
					+	$3 w^{2}$	-	$2 w$

خطوة 2.5.7

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $3 w^{2}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $w$ .

				$w^{2}$	+	$3 w$
$w$	-	$4$		$w^{3}$	-	$w^{2}$	-	$2 w$	-	$40$
			-	$w^{3}$	+	$4 w^{2}$
					+	$3 w^{2}$	-	$2 w$

خطوة 2.5.8

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$w^{2}$	+	$3 w$
$w$	-	$4$		$w^{3}$	-	$w^{2}$	-	$2 w$	-	$40$
			-	$w^{3}$	+	$4 w^{2}$
					+	$3 w^{2}$	-	$2 w$
					+	$3 w^{2}$	-	$12 w$

خطوة 2.5.9

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $3 w^{2} - 12 w$

				$w^{2}$	+	$3 w$
$w$	-	$4$		$w^{3}$	-	$w^{2}$	-	$2 w$	-	$40$
			-	$w^{3}$	+	$4 w^{2}$
					+	$3 w^{2}$	-	$2 w$
					-	$3 w^{2}$	+	$12 w$

خطوة 2.5.10

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$w^{2}$	+	$3 w$
$w$	-	$4$		$w^{3}$	-	$w^{2}$	-	$2 w$	-	$40$
			-	$w^{3}$	+	$4 w^{2}$
					+	$3 w^{2}$	-	$2 w$
					-	$3 w^{2}$	+	$12 w$
							+	$10 w$

خطوة 2.5.11

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

				$w^{2}$	+	$3 w$
$w$	-	$4$		$w^{3}$	-	$w^{2}$	-	$2 w$	-	$40$
			-	$w^{3}$	+	$4 w^{2}$
					+	$3 w^{2}$	-	$2 w$
					-	$3 w^{2}$	+	$12 w$
							+	$10 w$	-	$40$

خطوة 2.5.12

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $10 w$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $w$ .

				$w^{2}$	+	$3 w$	+	$10$
$w$	-	$4$		$w^{3}$	-	$w^{2}$	-	$2 w$	-	$40$
			-	$w^{3}$	+	$4 w^{2}$
					+	$3 w^{2}$	-	$2 w$
					-	$3 w^{2}$	+	$12 w$
							+	$10 w$	-	$40$

خطوة 2.5.13

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$w^{2}$	+	$3 w$	+	$10$
$w$	-	$4$		$w^{3}$	-	$w^{2}$	-	$2 w$	-	$40$
			-	$w^{3}$	+	$4 w^{2}$
					+	$3 w^{2}$	-	$2 w$
					-	$3 w^{2}$	+	$12 w$
							+	$10 w$	-	$40$
							+	$10 w$	-	$40$

خطوة 2.5.14

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $10 w - 40$

				$w^{2}$	+	$3 w$	+	$10$
$w$	-	$4$		$w^{3}$	-	$w^{2}$	-	$2 w$	-	$40$
			-	$w^{3}$	+	$4 w^{2}$
					+	$3 w^{2}$	-	$2 w$
					-	$3 w^{2}$	+	$12 w$
							+	$10 w$	-	$40$
							-	$10 w$	+	$40$

خطوة 2.5.15

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$w^{2}$	+	$3 w$	+	$10$
$w$	-	$4$		$w^{3}$	-	$w^{2}$	-	$2 w$	-	$40$
			-	$w^{3}$	+	$4 w^{2}$
					+	$3 w^{2}$	-	$2 w$
					-	$3 w^{2}$	+	$12 w$
							+	$10 w$	-	$40$
							-	$10 w$	+	$40$
										$0$

خطوة 2.5.16

بما أن الباقي يساوي $0$ ، إذن الإجابة النهائية هي ناتج القسمة.

$w^{2} + 3 w + 10$

خطوة 2.6

اكتب $w^{3} - w^{2} - 2 w - 40$ في صورة مجموعة من العوامل.

$(w - 4) (w^{2} + 3 w + 10) = 0$

خطوة 3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$w - 4 = 0$

$w^{2} + 3 w + 10 = 0$

خطوة 4

عيّن قيمة العبارة $w - 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $w$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن قيمة $w - 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$w - 4 = 0$

خطوة 4.2

أضف $4$ إلى كلا المتعادلين.

$w = 4$

خطوة 5

عيّن قيمة العبارة $w^{2} + 3 w + 10$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $w$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عيّن قيمة $w^{2} + 3 w + 10$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$w^{2} + 3 w + 10 = 0$

خطوة 5.2

أوجِد قيمة $w$ في $w^{2} + 3 w + 10 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 5.2.2

عوّض بقيم $a = 1$ و $b = 3$ و $c = 10$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $w$ .

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 10)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 5.2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1.1

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$w = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

خطوة 5.2.3.1.2

اضرب $- 4 \cdot 1 \cdot 10$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1.2.1

اضرب $- 4$ في $1$ .

$w = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

خطوة 5.2.3.1.2.2

اضرب $- 4$ في $10$ .

$w = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 40}}{2 \cdot 1}$

خطوة 5.2.3.1.3

اطرح $40$ من $9$ .

$w = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 31}}{2 \cdot 1}$

خطوة 5.2.3.1.4

أعِد كتابة $- 31$ بالصيغة $- 1 (31)$ .

$w = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 31}}{2 \cdot 1}$

خطوة 5.2.3.1.5

أعِد كتابة $\sqrt{- 1 (31)}$ بالصيغة $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{31}$ .

$w = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{31}}{2 \cdot 1}$

خطوة 5.2.3.1.6

أعِد كتابة $\sqrt{- 1}$ بالصيغة $i$ .

$w = \frac{- 3 \pm i \sqrt{31}}{2 \cdot 1}$

خطوة 5.2.3.2

اضرب $2$ في $1$ .

$w = \frac{- 3 \pm i \sqrt{31}}{2}$

خطوة 5.2.4

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$w = - \frac{3 - i \sqrt{31}}{2}, - \frac{3 + i \sqrt{31}}{2}$

خطوة 6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(w - 4) (w^{2} + 3 w + 10) = 0$ صحيحة.

$w = 4, - \frac{3 - i \sqrt{31}}{2}, - \frac{3 + i \sqrt{31}}{2}$