الرياضيات الأساسية الأمثلة

$\frac{4 y^{2} - 13 y + 3}{2 y^{2} - 5 y - 12} \cdot \frac{2 y^{2} + 9 y + 9}{16 y^{2} - 1} \cdot \frac{y^{2} + 3 y - 28}{y^{2} - 9}$

خطوة 1

حلّل $y^{2} + 3 y - 28$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $- 28$ ومجموعهما $3$ .

$- 4, 7$

خطوة 1.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$\frac{4 y^{2} - 13 y + 3}{2 y^{2} - 5 y - 12} \cdot \frac{2 y^{2} + 9 y + 9}{16 y^{2} - 1} \cdot \frac{(y - 4) (y + 7)}{y^{2} - 9}$

خطوة 2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أعِد كتابة $9$ بالصيغة $3^{2}$ .

$\frac{4 y^{2} - 13 y + 3}{2 y^{2} - 5 y - 12} \cdot \frac{2 y^{2} + 9 y + 9}{16 y^{2} - 1} \cdot \frac{(y - 4) (y + 7)}{y^{2} - 3^{2}}$

خطوة 2.2

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = y$ و $b = 3$ .

$\frac{4 y^{2} - 13 y + 3}{2 y^{2} - 5 y - 12} \cdot \frac{2 y^{2} + 9 y + 9}{16 y^{2} - 1} \cdot \frac{(y - 4) (y + 7)}{(y + 3) (y - 3)}$

خطوة 3

حلّل إلى عوامل بالتجميع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بالنسبة إلى متعدد حدود بالصيغة $a x^{2} + b x + c$ ، أعِد كتابة الحد الأوسط كمجموع من حدين حاصل ضربهما $a \cdot c = 4 \cdot 3 = 12$ ومجموعهما $b = - 13$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أخرِج العامل $- 13$ من $- 13 y$ .

$\frac{4 y^{2} - 13 (y) + 3}{2 y^{2} - 5 y - 12} \cdot \frac{2 y^{2} + 9 y + 9}{16 y^{2} - 1} \cdot \frac{(y - 4) (y + 7)}{(y + 3) (y - 3)}$

خطوة 3.1.2

أعِد كتابة $- 13$ في صورة $- 1$ زائد $- 12$

$\frac{4 y^{2} + (- 1 - 12) y + 3}{2 y^{2} - 5 y - 12} \cdot \frac{2 y^{2} + 9 y + 9}{16 y^{2} - 1} \cdot \frac{(y - 4) (y + 7)}{(y + 3) (y - 3)}$

خطوة 3.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{4 y^{2} - 1 y - 12 y + 3}{2 y^{2} - 5 y - 12} \cdot \frac{2 y^{2} + 9 y + 9}{16 y^{2} - 1} \cdot \frac{(y - 4) (y + 7)}{(y + 3) (y - 3)}$

خطوة 3.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$\frac{(4 y^{2} - 1 y) - 12 y + 3}{2 y^{2} - 5 y - 12} \cdot \frac{2 y^{2} + 9 y + 9}{16 y^{2} - 1} \cdot \frac{(y - 4) (y + 7)}{(y + 3) (y - 3)}$

خطوة 3.2.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$\frac{y (4 y - 1) - 3 (4 y - 1)}{2 y^{2} - 5 y - 12} \cdot \frac{2 y^{2} + 9 y + 9}{16 y^{2} - 1} \cdot \frac{(y - 4) (y + 7)}{(y + 3) (y - 3)}$

خطوة 3.3

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $4 y - 1$ .

$\frac{(4 y - 1) (y - 3)}{2 y^{2} - 5 y - 12} \cdot \frac{2 y^{2} + 9 y + 9}{16 y^{2} - 1} \cdot \frac{(y - 4) (y + 7)}{(y + 3) (y - 3)}$

خطوة 4

حلّل إلى عوامل بالتجميع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بالنسبة إلى متعدد حدود بالصيغة $a x^{2} + b x + c$ ، أعِد كتابة الحد الأوسط كمجموع من حدين حاصل ضربهما $a \cdot c = 2 \cdot - 12 = - 24$ ومجموعهما $b = - 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

أخرِج العامل $- 5$ من $- 5 y$ .

$\frac{(4 y - 1) (y - 3)}{2 y^{2} - 5 (y) - 12} \cdot \frac{2 y^{2} + 9 y + 9}{16 y^{2} - 1} \cdot \frac{(y - 4) (y + 7)}{(y + 3) (y - 3)}$

خطوة 4.1.2

أعِد كتابة $- 5$ في صورة $3$ زائد $- 8$

$\frac{(4 y - 1) (y - 3)}{2 y^{2} + (3 - 8) y - 12} \cdot \frac{2 y^{2} + 9 y + 9}{16 y^{2} - 1} \cdot \frac{(y - 4) (y + 7)}{(y + 3) (y - 3)}$

خطوة 4.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{(4 y - 1) (y - 3)}{2 y^{2} + 3 y - 8 y - 12} \cdot \frac{2 y^{2} + 9 y + 9}{16 y^{2} - 1} \cdot \frac{(y - 4) (y + 7)}{(y + 3) (y - 3)}$

خطوة 4.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$\frac{(4 y - 1) (y - 3)}{(2 y^{2} + 3 y) - 8 y - 12} \cdot \frac{2 y^{2} + 9 y + 9}{16 y^{2} - 1} \cdot \frac{(y - 4) (y + 7)}{(y + 3) (y - 3)}$

خطوة 4.2.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$\frac{(4 y - 1) (y - 3)}{y (2 y + 3) - 4 (2 y + 3)} \cdot \frac{2 y^{2} + 9 y + 9}{16 y^{2} - 1} \cdot \frac{(y - 4) (y + 7)}{(y + 3) (y - 3)}$

خطوة 4.3

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $2 y + 3$ .

$\frac{(4 y - 1) (y - 3)}{(2 y + 3) (y - 4)} \cdot \frac{2 y^{2} + 9 y + 9}{16 y^{2} - 1} \cdot \frac{(y - 4) (y + 7)}{(y + 3) (y - 3)}$

خطوة 5

حلّل إلى عوامل بالتجميع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بالنسبة إلى متعدد حدود بالصيغة $a x^{2} + b x + c$ ، أعِد كتابة الحد الأوسط كمجموع من حدين حاصل ضربهما $a \cdot c = 2 \cdot 9 = 18$ ومجموعهما $b = 9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أخرِج العامل $9$ من $9 y$ .

$\frac{(4 y - 1) (y - 3)}{(2 y + 3) (y - 4)} \cdot \frac{2 y^{2} + 9 (y) + 9}{16 y^{2} - 1} \cdot \frac{(y - 4) (y + 7)}{(y + 3) (y - 3)}$

خطوة 5.1.2

أعِد كتابة $9$ في صورة $3$ زائد $6$

$\frac{(4 y - 1) (y - 3)}{(2 y + 3) (y - 4)} \cdot \frac{2 y^{2} + (3 + 6) y + 9}{16 y^{2} - 1} \cdot \frac{(y - 4) (y + 7)}{(y + 3) (y - 3)}$

خطوة 5.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{(4 y - 1) (y - 3)}{(2 y + 3) (y - 4)} \cdot \frac{2 y^{2} + 3 y + 6 y + 9}{16 y^{2} - 1} \cdot \frac{(y - 4) (y + 7)}{(y + 3) (y - 3)}$

خطوة 5.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$\frac{(4 y - 1) (y - 3)}{(2 y + 3) (y - 4)} \cdot \frac{(2 y^{2} + 3 y) + 6 y + 9}{16 y^{2} - 1} \cdot \frac{(y - 4) (y + 7)}{(y + 3) (y - 3)}$

خطوة 5.2.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$\frac{(4 y - 1) (y - 3)}{(2 y + 3) (y - 4)} \cdot \frac{y (2 y + 3) + 3 (2 y + 3)}{16 y^{2} - 1} \cdot \frac{(y - 4) (y + 7)}{(y + 3) (y - 3)}$

خطوة 5.3

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $2 y + 3$ .

$\frac{(4 y - 1) (y - 3)}{(2 y + 3) (y - 4)} \cdot \frac{(2 y + 3) (y + 3)}{16 y^{2} - 1} \cdot \frac{(y - 4) (y + 7)}{(y + 3) (y - 3)}$

خطوة 6

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أعِد كتابة $16 y^{2}$ بالصيغة ${(4 y)}^{2}$ .

$\frac{(4 y - 1) (y - 3)}{(2 y + 3) (y - 4)} \cdot \frac{(2 y + 3) (y + 3)}{{(4 y)}^{2} - 1} \cdot \frac{(y - 4) (y + 7)}{(y + 3) (y - 3)}$

خطوة 6.2

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$\frac{(4 y - 1) (y - 3)}{(2 y + 3) (y - 4)} \cdot \frac{(2 y + 3) (y + 3)}{{(4 y)}^{2} - 1^{2}} \cdot \frac{(y - 4) (y + 7)}{(y + 3) (y - 3)}$

خطوة 6.3

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = 4 y$ و $b = 1$ .

$\frac{(4 y - 1) (y - 3)}{(2 y + 3) (y - 4)} \cdot \frac{(2 y + 3) (y + 3)}{(4 y + 1) (4 y - 1)} \cdot \frac{(y - 4) (y + 7)}{(y + 3) (y - 3)}$

خطوة 7

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

ألغِ العامل المشترك لـ $4 y - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

أخرِج العامل $4 y - 1$ من $(4 y + 1) (4 y - 1)$ .

$\frac{(4 y - 1) (y - 3)}{(2 y + 3) (y - 4)} \cdot \frac{(2 y + 3) (y + 3)}{(4 y - 1) (4 y + 1)} \cdot \frac{(y - 4) (y + 7)}{(y + 3) (y - 3)}$

خطوة 7.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{(4 y - 1) (y - 3)}{(2 y + 3) (y - 4)} \cdot \frac{(2 y + 3) (y + 3)}{(4 y - 1) (4 y + 1)} \cdot \frac{(y - 4) (y + 7)}{(y + 3) (y - 3)}$

خطوة 7.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y - 3}{(2 y + 3) (y - 4)} \cdot \frac{(2 y + 3) (y + 3)}{4 y + 1} \cdot \frac{(y - 4) (y + 7)}{(y + 3) (y - 3)}$

خطوة 7.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2 y + 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y - 3}{(2 y + 3) (y - 4)} \cdot \frac{(2 y + 3) (y + 3)}{4 y + 1} \cdot \frac{(y - 4) (y + 7)}{(y + 3) (y - 3)}$

خطوة 7.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y - 3}{y - 4} \cdot \frac{y + 3}{4 y + 1} \cdot \frac{(y - 4) (y + 7)}{(y + 3) (y - 3)}$

خطوة 7.3

اضرب $\frac{y - 3}{y - 4}$ في $\frac{y + 3}{4 y + 1}$ .

$\frac{(y - 3) (y + 3)}{(y - 4) (4 y + 1)} \cdot \frac{(y - 4) (y + 7)}{(y + 3) (y - 3)}$

خطوة 7.4

ألغِ العامل المشترك لـ $(y + 3) (y - 3)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.1

أخرِج العامل $(y + 3) (y - 3)$ من $(y - 3) (y + 3)$ .

$\frac{(y + 3) (y - 3) (1)}{(y - 4) (4 y + 1)} \cdot \frac{(y - 4) (y + 7)}{(y + 3) (y - 3)}$

خطوة 7.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{(y + 3) (y - 3) \cdot 1}{(y - 4) (4 y + 1)} \cdot \frac{(y - 4) (y + 7)}{(y + 3) (y - 3)}$

خطوة 7.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{(y - 4) (4 y + 1)} \cdot ((y - 4) (y + 7))$

خطوة 7.5

ألغِ العامل المشترك لـ $y - 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{(y - 4) (4 y + 1)} \cdot ((y - 4) (y + 7))$

خطوة 7.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{4 y + 1} \cdot (y + 7)$

خطوة 7.6

اضرب $\frac{1}{4 y + 1}$ في $y + 7$ .

$\frac{y + 7}{4 y + 1}$