الرياضيات الأساسية الأمثلة

$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot (\frac{m + n}{m - n} - \frac{m - n}{m + n})$

خطوة 1

لكتابة $\frac{m + n}{m - n}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{m + n}{m + n}$ .

$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot (\frac{m + n}{m - n} \cdot \frac{m + n}{m + n} - \frac{m - n}{m + n})$

خطوة 2

لكتابة $- \frac{m - n}{m + n}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{m - n}{m - n}$ .

$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot (\frac{m + n}{m - n} \cdot \frac{m + n}{m + n} - \frac{m - n}{m + n} \cdot \frac{m - n}{m - n})$

خطوة 3

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $(m - n) (m + n)$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب $\frac{m + n}{m - n}$ في $\frac{m + n}{m + n}$ .

$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot (\frac{(m + n) (m + n)}{(m - n) (m + n)} - \frac{m - n}{m + n} \cdot \frac{m - n}{m - n})$

خطوة 3.2

اضرب $\frac{m - n}{m + n}$ في $\frac{m - n}{m - n}$ .

$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot (\frac{(m + n) (m + n)}{(m - n) (m + n)} - \frac{(m - n) (m - n)}{(m + n) (m - n)})$

خطوة 3.3

أعِد ترتيب عوامل $(m - n) (m + n)$ .

$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot (\frac{(m + n) (m + n)}{(m + n) (m - n)} - \frac{(m - n) (m - n)}{(m + n) (m - n)})$

خطوة 4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot \frac{(m + n) (m + n) - (m - n) (m - n)}{(m + n) (m - n)}$

خطوة 5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

ارفع $m + n$ إلى القوة $1$ .

$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot \frac{{(m + n)}^{1} (m + n) - (m - n) (m - n)}{(m + n) (m - n)}$

خطوة 5.2

ارفع $m + n$ إلى القوة $1$ .

$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot \frac{{(m + n)}^{1} {(m + n)}^{1} - (m - n) (m - n)}{(m + n) (m - n)}$

خطوة 5.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot \frac{{(m + n)}^{1 + 1} - (m - n) (m - n)}{(m + n) (m - n)}$

خطوة 5.4

أضف $1$ و $1$ .

$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot \frac{{(m + n)}^{2} - (m - n) (m - n)}{(m + n) (m - n)}$

خطوة 5.5

أعِد كتابة $(m - n) (m - n)$ بالصيغة ${(m - n)}^{2}$ .

$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot \frac{{(m + n)}^{2} - {(m - n)}^{2}}{(m + n) (m - n)}$

خطوة 5.6

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = m + n$ و $b = m - n$ .

$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot \frac{(m + n + m - n) (m + n - (m - n))}{(m + n) (m - n)}$

خطوة 5.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.7.1

أضف $m$ و $m$ .

$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot \frac{(2 m + n - n) (m + n - (m - n))}{(m + n) (m - n)}$

خطوة 5.7.2

اطرح $n$ من $n$ .

$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot \frac{(2 m + 0) (m + n - (m - n))}{(m + n) (m - n)}$

خطوة 5.7.3

أضف $2 m$ و $0$ .

$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot \frac{2 m (m + n - (m - n))}{(m + n) (m - n)}$

خطوة 5.7.4

طبّق خاصية التوزيع.

$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot \frac{2 m (m + n - m - - n)}{(m + n) (m - n)}$

خطوة 5.7.5

اضرب $- - n$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.7.5.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot \frac{2 m (m + n - m + 1 n)}{(m + n) (m - n)}$

خطوة 5.7.5.2

اضرب $n$ في $1$ .

$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot \frac{2 m (m + n - m + n)}{(m + n) (m - n)}$

خطوة 5.7.6

اطرح $m$ من $m$ .

$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot \frac{2 m (n + 0 + n)}{(m + n) (m - n)}$

خطوة 5.7.7

أضف $n$ و $0$ .

$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot \frac{2 m (n + n)}{(m + n) (m - n)}$

خطوة 5.7.8

أضف $n$ و $n$ .

$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot \frac{2 m \cdot 2 n}{(m + n) (m - n)}$

خطوة 5.7.9

اضرب $2$ في $2$ .

$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot \frac{4 m n}{(m + n) (m - n)}$

خطوة 6

اضرب $\frac{m}{n} - \frac{n}{m}$ في $\frac{4 m n}{(m + n) (m - n)}$ .

$\frac{(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) (4 m n)}{(m + n) (m - n)}$

خطوة 7

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

لكتابة $\frac{m}{n}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{m}{m}$ .

$\frac{(\frac{m}{n} \cdot \frac{m}{m} - \frac{n}{m}) \cdot 4 m n}{(m + n) (m - n)}$

خطوة 7.2

لكتابة $- \frac{n}{m}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{n}{n}$ .

$\frac{(\frac{m}{n} \cdot \frac{m}{m} - \frac{n}{m} \cdot \frac{n}{n}) \cdot 4 m n}{(m + n) (m - n)}$

خطوة 7.3

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $n m$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

اضرب $\frac{m}{n}$ في $\frac{m}{m}$ .

$\frac{(\frac{m \cdot m}{n m} - \frac{n}{m} \cdot \frac{n}{n}) \cdot 4 m n}{(m + n) (m - n)}$

خطوة 7.3.2

اضرب $\frac{n}{m}$ في $\frac{n}{n}$ .

$\frac{(\frac{m \cdot m}{n m} - \frac{n \cdot n}{m n}) \cdot 4 m n}{(m + n) (m - n)}$

خطوة 7.3.3

أعِد ترتيب عوامل $n m$ .

$\frac{(\frac{m \cdot m}{m n} - \frac{n \cdot n}{m n}) \cdot 4 m n}{(m + n) (m - n)}$

خطوة 7.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{\frac{m \cdot m - n \cdot n}{m n} \cdot 4 m n}{(m + n) (m - n)}$

خطوة 7.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.1

ارفع $m$ إلى القوة $1$ .

$\frac{\frac{m^{1} m - n \cdot n}{m n} \cdot 4 m n}{(m + n) (m - n)}$

خطوة 7.5.2

ارفع $m$ إلى القوة $1$ .

$\frac{\frac{m^{1} m^{1} - n \cdot n}{m n} \cdot 4 m n}{(m + n) (m - n)}$

خطوة 7.5.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{\frac{m^{1 + 1} - n \cdot n}{m n} \cdot 4 m n}{(m + n) (m - n)}$

خطوة 7.5.4

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{\frac{m^{2} - n \cdot n}{m n} \cdot 4 m n}{(m + n) (m - n)}$

خطوة 7.5.5

أعِد كتابة $n \cdot n$ بالصيغة $n^{2}$ .

$\frac{\frac{m^{2} - n^{2}}{m n} \cdot 4 m n}{(m + n) (m - n)}$

خطوة 7.5.6

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = m$ و $b = n$ .

$\frac{\frac{(m + n) (m - n)}{m n} \cdot 4 m n}{(m + n) (m - n)}$

خطوة 7.6

اجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.6.1

اجمع $\frac{(m + n) (m - n)}{m n}$ و $4$ .

$\frac{\frac{(m + n) (m - n) \cdot 4}{m n} m n}{(m + n) (m - n)}$

خطوة 7.6.2

اجمع $\frac{(m + n) (m - n) \cdot 4}{m n}$ و $m$ .

$\frac{\frac{(m + n) (m - n) \cdot 4 m}{m n} n}{(m + n) (m - n)}$

خطوة 7.6.3

اجمع $\frac{(m + n) (m - n) \cdot 4 m}{m n}$ و $n$ .

$\frac{\frac{(m + n) (m - n) \cdot 4 m n}{m n}}{(m + n) (m - n)}$

خطوة 7.7

اختزِل العبارة $\frac{(m + n) (m - n) \cdot 4 m n}{m n}$ بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.7.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\frac{(m + n) (m - n) \cdot 4 m n}{m n}}{(m + n) (m - n)}$

خطوة 7.7.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{\frac{(m + n) (m - n) \cdot 4 n}{n}}{(m + n) (m - n)}$

خطوة 7.8

ألغِ العامل المشترك لـ $n$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.8.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\frac{(m + n) (m - n) \cdot 4 n}{n}}{(m + n) (m - n)}$

خطوة 7.8.2

اقسِم $(m + n) (m - n) \cdot 4$ على $1$ .

$\frac{(m + n) (m - n) \cdot 4}{(m + n) (m - n)}$

خطوة 7.9

وسّع $(m + n) (m - n)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.9.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{(m (m - n) + n (m - n)) \cdot 4}{(m + n) (m - n)}$

خطوة 7.9.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{(m \cdot m + m (- n) + n (m - n)) \cdot 4}{(m + n) (m - n)}$

خطوة 7.9.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{(m \cdot m + m (- n) + n m + n (- n)) \cdot 4}{(m + n) (m - n)}$

خطوة 7.10

جمّع الحدود المتعاكسة في $m \cdot m + m (- n) + n m + n (- n)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.10.1

أعِد ترتيب العوامل في الحدين $m (- n)$ و $n m$ .

$\frac{(m \cdot m - m n + m n + n (- n)) \cdot 4}{(m + n) (m - n)}$

خطوة 7.10.2

أضف $- m n$ و $m n$ .

$\frac{(m \cdot m + 0 + n (- n)) \cdot 4}{(m + n) (m - n)}$

خطوة 7.10.3

أضف $m \cdot m$ و $0$ .

$\frac{(m \cdot m + n (- n)) \cdot 4}{(m + n) (m - n)}$

خطوة 7.11

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.11.1

اضرب $m$ في $m$ .

$\frac{(m^{2} + n (- n)) \cdot 4}{(m + n) (m - n)}$

خطوة 7.11.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{(m^{2} - n \cdot n) \cdot 4}{(m + n) (m - n)}$

خطوة 7.11.3

اضرب $n$ في $n$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.11.3.1

انقُل $n$ .

$\frac{(m^{2} - (n \cdot n)) \cdot 4}{(m + n) (m - n)}$

خطوة 7.11.3.2

اضرب $n$ في $n$ .

$\frac{(m^{2} - n^{2}) \cdot 4}{(m + n) (m - n)}$

خطوة 7.12

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{m^{2} \cdot 4 - n^{2} \cdot 4}{(m + n) (m - n)}$

خطوة 7.13

انقُل $4$ إلى يسار $m^{2}$ .

$\frac{4 \cdot m^{2} - n^{2} \cdot 4}{(m + n) (m - n)}$

خطوة 7.14

اضرب $4$ في $- 1$ .

$\frac{4 \cdot m^{2} - 4 n^{2}}{(m + n) (m - n)}$

خطوة 7.15

أخرِج العامل $4$ من $4 m^{2} - 4 n^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.15.1

أخرِج العامل $4$ من $4 m^{2}$ .

$\frac{4 (m^{2}) - 4 n^{2}}{(m + n) (m - n)}$

خطوة 7.15.2

أخرِج العامل $4$ من $- 4 n^{2}$ .

$\frac{4 (m^{2}) + 4 (- n^{2})}{(m + n) (m - n)}$

خطوة 7.15.3

أخرِج العامل $4$ من $4 (m^{2}) + 4 (- n^{2})$ .

$\frac{4 (m^{2} - n^{2})}{(m + n) (m - n)}$

خطوة 7.16

$\frac{4 (m + n) (m - n)}{(m + n) (m - n)}$

خطوة 8

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

ألغِ العامل المشترك لـ $m + n$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 (m + n) (m - n)}{(m + n) (m - n)}$

خطوة 8.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{4 (m - n)}{m - n}$

خطوة 8.2

ألغِ العامل المشترك لـ $m - n$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 (m - n)}{m - n}$

خطوة 8.2.2

اقسِم $4$ على $1$ .

$4$