الرياضيات الأساسية الأمثلة

$\frac{7}{y - 1} + \frac{1}{y} = \frac{9}{8}$

خطوة 1

أوجِد القاسم المشترك الأصغر للحدود في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

يُعد إيجاد القاسم المشترك الأصغر لقائمة القيم بمثابة إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لقواسم تلك القيم.

$y - 1, y, 8$

خطوة 1.2

Since $y - 1, y, 8$ contains both numbers and variables, there are four steps to find the LCM. Find LCM for the numeric, variable, and compound variable parts. Then, multiply them all together.

تتمثل خطوات إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لـ $y - 1, y, 8$ فيما يلي:

1. أوجِد المضاعف المشترك الأصغر للجزء الرقمي $1, 1, 8$ .

2. أوجِد المضاعف المشترك الأصغر للجزء المتغير $y^{1}$ .

3. أوجِد المضاعف المشترك الأصغر للجزء المتغير المركب $y - 1$ .

4. اضرب كل مضاعف مشترك أصغر معًا.

خطوة 1.3

المضاعف المشترك الأصغر هو أصغر عدد موجب يمكن قسمته على جميع الأعداد بالتساوي.

1. اكتب قائمة العوامل الأساسية لكل عدد.

2. اضرب كل عامل في أكبر عدد من مرات ظهوره في أي رقم.

خطوة 1.4

العدد $1$ ليس عددًا أوليًا لأن له عامل موجب واحد فقط، وهو العدد نفسه.

ليس أوليًا

خطوة 1.5

العوامل الأساسية لـ $8$ هي $2 \cdot 2 \cdot 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

$8$ لها العاملان $2$ و $4$ .

$2 \cdot 4$

خطوة 1.5.2

$4$ لها العاملان $2$ و $2$ .

$2 \cdot 2 \cdot 2$

خطوة 1.6

اضرب $2 \cdot 2 \cdot 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.1

اضرب $2$ في $2$ .

$4 \cdot 2$

خطوة 1.6.2

اضرب $4$ في $2$ .

$8$

خطوة 1.7

عامل $y^{1}$ هو $y$ نفسها.

$y^{1} = y$

تحدث $y$ بمعدل $1$ من المرات.

خطوة 1.8

المضاعف المشترك الأصغر لـ $y^{1}$ هو حاصل ضرب كل العوامل الأساسية في أكبر عدد من المرات التي تظهر فيها في أي من الحدين.

$y$

خطوة 1.9

عامل $y - 1$ هو $y - 1$ نفسها.

$(y - 1) = y - 1$

تحدث $(y - 1)$ بمعدل $1$ من المرات.

خطوة 1.10

المضاعف المشترك الأصغر لـ $y - 1$ هو حاصل ضرب كل العوامل في أكبر عدد من المرات التي تظهر فيها في أي من الحدين.

$y - 1$

خطوة 1.11

المضاعف المشترك الأصغر $LCM$ لبعض الأعداد هو أصغر عدد تمثل الأعداد عوامله.

$8 y (y - 1)$

خطوة 2

اضرب كل حد في $\frac{7}{y - 1} + \frac{1}{y} = \frac{9}{8}$ في $8 y (y - 1)$ لحذف الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اضرب كل حد في $\frac{7}{y - 1} + \frac{1}{y} = \frac{9}{8}$ في $8 y (y - 1)$ .

$\frac{7}{y - 1} (8 y (y - 1)) + \frac{1}{y} (8 y (y - 1)) = \frac{9}{8} (8 y (y - 1))$

خطوة 2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$8 \frac{7}{y - 1} (y (y - 1)) + \frac{1}{y} (8 y (y - 1)) = \frac{9}{8} (8 y (y - 1))$

خطوة 2.2.1.2

اضرب $8 \frac{7}{y - 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.2.1

اجمع $8$ و $\frac{7}{y - 1}$ .

$\frac{8 \cdot 7}{y - 1} (y (y - 1)) + \frac{1}{y} (8 y (y - 1)) = \frac{9}{8} (8 y (y - 1))$

خطوة 2.2.1.2.2

اضرب $8$ في $7$ .

$\frac{56}{y - 1} (y (y - 1)) + \frac{1}{y} (8 y (y - 1)) = \frac{9}{8} (8 y (y - 1))$

خطوة 2.2.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $y - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.3.1

أخرِج العامل $y - 1$ من $y (y - 1)$ .

$\frac{56}{y - 1} ((y - 1) y) + \frac{1}{y} (8 y (y - 1)) = \frac{9}{8} (8 y (y - 1))$

خطوة 2.2.1.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{56}{y - 1} ((y - 1) y) + \frac{1}{y} (8 y (y - 1)) = \frac{9}{8} (8 y (y - 1))$

خطوة 2.2.1.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$56 y + \frac{1}{y} (8 y (y - 1)) = \frac{9}{8} (8 y (y - 1))$

خطوة 2.2.1.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$56 y + 8 \frac{1}{y} (y (y - 1)) = \frac{9}{8} (8 y (y - 1))$

خطوة 2.2.1.5

اجمع $8$ و $\frac{1}{y}$ .

$56 y + \frac{8}{y} (y (y - 1)) = \frac{9}{8} (8 y (y - 1))$

خطوة 2.2.1.6

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.6.1

ألغِ العامل المشترك.

$56 y + \frac{8}{y} (y (y - 1)) = \frac{9}{8} (8 y (y - 1))$

خطوة 2.2.1.6.2

أعِد كتابة العبارة.

$56 y + 8 (y - 1) = \frac{9}{8} (8 y (y - 1))$

خطوة 2.2.1.7

طبّق خاصية التوزيع.

$56 y + 8 y + 8 \cdot - 1 = \frac{9}{8} (8 y (y - 1))$

خطوة 2.2.1.8

اضرب $8$ في $- 1$ .

$56 y + 8 y - 8 = \frac{9}{8} (8 y (y - 1))$

خطوة 2.2.2

أضف $56 y$ و $8 y$ .

$64 y - 8 = \frac{9}{8} (8 y (y - 1))$

خطوة 2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1.1

أخرِج العامل $8$ من $8 y (y - 1)$ .

$64 y - 8 = \frac{9}{8} (8 (y (y - 1)))$

خطوة 2.3.1.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$64 y - 8 = \frac{9}{8} (8 (y (y - 1)))$

خطوة 2.3.1.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$64 y - 8 = 9 (y (y - 1))$

خطوة 2.3.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$64 y - 8 = 9 (y \cdot y + y \cdot - 1)$

خطوة 2.3.1.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.3.1

اضرب $y$ في $y$ .

$64 y - 8 = 9 (y^{2} + y \cdot - 1)$

خطوة 2.3.1.3.2

انقُل $- 1$ إلى يسار $y$ .

$64 y - 8 = 9 (y^{2} - 1 \cdot y)$

خطوة 2.3.2

أعِد كتابة $- 1 y$ بالصيغة $- y$ .

$64 y - 8 = 9 (y^{2} - y)$

خطوة 2.3.3

بسّط بالضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$64 y - 8 = 9 y^{2} + 9 (- y)$

خطوة 2.3.3.2

اضرب $- 1$ في $9$ .

$64 y - 8 = 9 y^{2} - 9 y$

خطوة 3

أوجِد حل المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بما أن $y$ موجودة على المتعادل الأيمن، بدّل الأطراف بحيث تصبح على المتعادل الأيسر.

$9 y^{2} - 9 y = 64 y - 8$

خطوة 3.2

انقُل كل الحدود التي تحتوي على $y$ إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

اطرح $64 y$ من كلا المتعادلين.

$9 y^{2} - 9 y - 64 y = - 8$

خطوة 3.2.2

اطرح $64 y$ من $- 9 y$ .

$9 y^{2} - 73 y = - 8$

خطوة 3.3

أضف $8$ إلى كلا المتعادلين.

$9 y^{2} - 73 y + 8 = 0$

خطوة 3.4

حلّل إلى عوامل بالتجميع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

بالنسبة إلى متعدد حدود بالصيغة $a x^{2} + b x + c$ ، أعِد كتابة الحد الأوسط كمجموع من حدين حاصل ضربهما $a \cdot c = 9 \cdot 8 = 72$ ومجموعهما $b = - 73$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1.1

أخرِج العامل $- 73$ من $- 73 y$ .

$9 y^{2} - 73 y + 8 = 0$

خطوة 3.4.1.2

أعِد كتابة $- 73$ في صورة $- 1$ زائد $- 72$

$9 y^{2} + (- 1 - 72) y + 8 = 0$

خطوة 3.4.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$9 y^{2} - 1 y - 72 y + 8 = 0$

خطوة 3.4.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$(9 y^{2} - 1 y) - 72 y + 8 = 0$

خطوة 3.4.2.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$y (9 y - 1) - 8 (9 y - 1) = 0$

خطوة 3.4.3

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $9 y - 1$ .

$(9 y - 1) (y - 8) = 0$

خطوة 3.5

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$9 y - 1 = 0$

$y - 8 = 0$

خطوة 3.6

عيّن قيمة العبارة $9 y - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

عيّن قيمة $9 y - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$9 y - 1 = 0$

خطوة 3.6.2

أوجِد قيمة $y$ في $9 y - 1 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.2.1

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$9 y = 1$

خطوة 3.6.2.2

اقسِم كل حد في $9 y = 1$ على $9$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.2.2.1

اقسِم كل حد في $9 y = 1$ على $9$ .

$\frac{9 y}{9} = \frac{1}{9}$

خطوة 3.6.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{9 y}{9} = \frac{1}{9}$

خطوة 3.6.2.2.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{1}{9}$

خطوة 3.7

عيّن قيمة العبارة $y - 8$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1

عيّن قيمة $y - 8$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$y - 8 = 0$

خطوة 3.7.2

أضف $8$ إلى كلا المتعادلين.

$y = 8$

خطوة 3.8

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(9 y - 1) (y - 8) = 0$ صحيحة.

$y = \frac{1}{9}, 8$

خطوة 4

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$y = \frac{1}{9}, 8$

الصيغة العشرية:

$y = 0.\overline{1}, 8$