الرياضيات الأساسية الأمثلة

$5 z^{4} + 16 z^{2} - 45 = 0$

خطوة 1

عوّض بـ $u = z^{2}$ في المعادلة. سيسهّل ذلك استخدام الصيغة التربيعية.

$5 u^{2} + 16 u - 45 = 0$

$u = z^{2}$

خطوة 2

حلّل إلى عوامل بالتجميع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بالنسبة إلى متعدد حدود بالصيغة $a x^{2} + b x + c$ ، أعِد كتابة الحد الأوسط كمجموع من حدين حاصل ضربهما $a \cdot c = 5 \cdot - 45 = - 225$ ومجموعهما $b = 16$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أخرِج العامل $16$ من $16 u$ .

$5 u^{2} + 16 (u) - 45 = 0$

خطوة 2.1.2

أعِد كتابة $16$ في صورة $- 9$ زائد $25$

$5 u^{2} + (- 9 + 25) u - 45 = 0$

خطوة 2.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$5 u^{2} - 9 u + 25 u - 45 = 0$

خطوة 2.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$(5 u^{2} - 9 u) + 25 u - 45 = 0$

خطوة 2.2.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$u (5 u - 9) + 5 (5 u - 9) = 0$

خطوة 2.3

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $5 u - 9$ .

$(5 u - 9) (u + 5) = 0$

خطوة 3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$5 u - 9 = 0$

$u + 5 = 0$

خطوة 4

عيّن قيمة العبارة $5 u - 9$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن قيمة $5 u - 9$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$5 u - 9 = 0$

خطوة 4.2

أوجِد قيمة $u$ في $5 u - 9 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

أضف $9$ إلى كلا المتعادلين.

$5 u = 9$

خطوة 4.2.2

اقسِم كل حد في $5 u = 9$ على $5$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

اقسِم كل حد في $5 u = 9$ على $5$ .

$\frac{5 u}{5} = \frac{9}{5}$

خطوة 4.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{5 u}{5} = \frac{9}{5}$

خطوة 4.2.2.2.1.2

اقسِم $u$ على $1$ .

$u = \frac{9}{5}$

خطوة 5

عيّن قيمة العبارة $u + 5$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عيّن قيمة $u + 5$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$u + 5 = 0$

خطوة 5.2

اطرح $5$ من كلا المتعادلين.

$u = - 5$

خطوة 6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(5 u - 9) (u + 5) = 0$ صحيحة.

$u = \frac{9}{5}, - 5$

خطوة 7

عوّض بالقيمة الحقيقية لـ $u = z^{2}$ مرة أخرى في المعادلة المحلولة.

$z^{2} = \frac{9}{5}$

${(z^{2})}^{1} = - 5$

خطوة 8

أوجِد قيمة $z$ في المعادلة الأولى.

$z^{2} = \frac{9}{5}$

خطوة 9

أوجِد قيمة $z$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$z = \pm \sqrt{\frac{9}{5}}$

خطوة 9.2

بسّط $\pm \sqrt{\frac{9}{5}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

أعِد كتابة $\sqrt{\frac{9}{5}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{5}}$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{5}}$

خطوة 9.2.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.2.1

أعِد كتابة $9$ بالصيغة $3^{2}$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{3^{2}}}{\sqrt{5}}$

خطوة 9.2.2.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$z = \pm \frac{3}{\sqrt{5}}$

خطوة 9.2.3

اضرب $\frac{3}{\sqrt{5}}$ في $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$z = \pm \frac{3}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

خطوة 9.2.4

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.4.1

اضرب $\frac{3}{\sqrt{5}}$ في $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$z = \pm \frac{3 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

خطوة 9.2.4.2

ارفع $\sqrt{5}$ إلى القوة $1$ .

$z = \pm \frac{3 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

خطوة 9.2.4.3

ارفع $\sqrt{5}$ إلى القوة $1$ .

$z = \pm \frac{3 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

خطوة 9.2.4.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$z = \pm \frac{3 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

خطوة 9.2.4.5

أضف $1$ و $1$ .

$z = \pm \frac{3 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

خطوة 9.2.4.6

أعِد كتابة ${\sqrt{5}}^{2}$ بالصيغة $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.4.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{5}$ في صورة $5^{\frac{1}{2}}$ .

$z = \pm \frac{3 \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 9.2.4.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$z = \pm \frac{3 \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 9.2.4.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$z = \pm \frac{3 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 9.2.4.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.4.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$z = \pm \frac{3 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 9.2.4.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$z = \pm \frac{3 \sqrt{5}}{5^{1}}$

خطوة 9.2.4.6.5

احسِب قيمة الأُس.

$z = \pm \frac{3 \sqrt{5}}{5}$

خطوة 9.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$z = \frac{3 \sqrt{5}}{5}$

خطوة 9.3.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$z = - \frac{3 \sqrt{5}}{5}$

خطوة 9.3.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$z = \frac{3 \sqrt{5}}{5}, - \frac{3 \sqrt{5}}{5}$

خطوة 10

أوجِد قيمة $z$ في المعادلة الثانية.

${(z^{2})}^{1} = - 5$

خطوة 11

أوجِد قيمة $z$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

احذِف الأقواس.

$z^{2} = - 5$

خطوة 11.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$z = \pm \sqrt{- 5}$

خطوة 11.3

بسّط $\pm \sqrt{- 5}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.1

أعِد كتابة $- 5$ بالصيغة $- 1 (5)$ .

$z = \pm \sqrt{- 1 (5)}$

خطوة 11.3.2

أعِد كتابة $\sqrt{- 1 (5)}$ بالصيغة $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{5}$ .

$z = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{5}$

خطوة 11.3.3

أعِد كتابة $\sqrt{- 1}$ بالصيغة $i$ .

$z = \pm i \sqrt{5}$

خطوة 11.4

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.4.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$z = i \sqrt{5}$

خطوة 11.4.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$z = - i \sqrt{5}$

خطوة 11.4.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$z = i \sqrt{5}, - i \sqrt{5}$

خطوة 12

حل $5 z^{4} + 16 z^{2} - 45 = 0$ هو $z = \frac{3 \sqrt{5}}{5}, - \frac{3 \sqrt{5}}{5}, i \sqrt{5}, - i \sqrt{5}$ .

$z = \frac{3 \sqrt{5}}{5}, - \frac{3 \sqrt{5}}{5}, i \sqrt{5}, - i \sqrt{5}$