الرياضيات الأساسية الأمثلة

$z = \frac{1}{z^{2}}$

خطوة 1

أوجِد القاسم المشترك الأصغر للحدود في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

يُعد إيجاد القاسم المشترك الأصغر لقائمة القيم بمثابة إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لقواسم تلك القيم.

$1, z^{2}$

خطوة 1.2

المضاعف المشترك الأصغر لإحدى العبارات ولأي منها هو العبارة.

$z^{2}$

خطوة 2

اضرب كل حد في $z = \frac{1}{z^{2}}$ في $z^{2}$ لحذف الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اضرب كل حد في $z = \frac{1}{z^{2}}$ في $z^{2}$ .

$z \cdot z^{2} = \frac{1}{z^{2}} z^{2}$

خطوة 2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

اضرب $z$ في $z^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

اضرب $z$ في $z^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1.1

ارفع $z$ إلى القوة $1$ .

$z^{1} z^{2} = \frac{1}{z^{2}} z^{2}$

خطوة 2.2.1.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$z^{1 + 2} = \frac{1}{z^{2}} z^{2}$

خطوة 2.2.1.2

أضف $1$ و $2$ .

$z^{3} = \frac{1}{z^{2}} z^{2}$

خطوة 2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $z^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$z^{3} = \frac{1}{z^{2}} z^{2}$

خطوة 2.3.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$z^{3} = 1$

خطوة 3

أوجِد حل المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$z^{3} - 1 = 0$

خطوة 3.2

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{3}$ .

$z^{3} - 1^{3} = 0$

خطوة 3.2.2

بما أن كلا الحدّين هما مكعبان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مكعبين، $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ حيث $a = z$ و $b = 1$ .

$(z - 1) (z^{2} + z \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

خطوة 3.2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.3.1

اضرب $z$ في $1$ .

$(z - 1) (z^{2} + z + 1^{2}) = 0$

خطوة 3.2.3.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$(z - 1) (z^{2} + z + 1) = 0$

خطوة 3.3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$z - 1 = 0$

$z^{2} + z + 1 = 0$

خطوة 3.4

عيّن قيمة العبارة $z - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $z$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

عيّن قيمة $z - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$z - 1 = 0$

خطوة 3.4.2

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$z = 1$

خطوة 3.5

عيّن قيمة العبارة $z^{2} + z + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $z$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

عيّن قيمة $z^{2} + z + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$z^{2} + z + 1 = 0$

خطوة 3.5.2

أوجِد قيمة $z$ في $z^{2} + z + 1 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 3.5.2.2

عوّض بقيم $a = 1$ و $b = 1$ و $c = 1$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $z$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.5.2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.3.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.3.1.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$z = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.5.2.3.1.2

اضرب $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.3.1.2.1

اضرب $- 4$ في $1$ .

$z = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.5.2.3.1.2.2

اضرب $- 4$ في $1$ .

$z = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.5.2.3.1.3

اطرح $4$ من $1$ .

$z = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.5.2.3.1.4

أعِد كتابة $- 3$ بالصيغة $- 1 (3)$ .

$z = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.5.2.3.1.5

أعِد كتابة $\sqrt{- 1 (3)}$ بالصيغة $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$z = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.5.2.3.1.6

أعِد كتابة $\sqrt{- 1}$ بالصيغة $i$ .

$z = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.5.2.3.2

اضرب $2$ في $1$ .

$z = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

خطوة 3.5.2.4

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$z = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

خطوة 3.6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(z - 1) (z^{2} + z + 1) = 0$ صحيحة.

$z = 1, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$