الرياضيات الأساسية الأمثلة

$\frac{k^{2} + 3 k - 4}{k - 4} \cdot \frac{k^{2} - 16}{k^{2} - 1} = a$

خطوة 1

بسّط $\frac{k^{2} + 3 k - 4}{k - 4} \cdot \frac{k^{2} - 16}{k^{2} - 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

حلّل $k^{2} + 3 k - 4$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $- 4$ ومجموعهما $3$ .

$- 1, 4$

خطوة 1.1.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$\frac{(k - 1) (k + 4)}{k - 4} \cdot \frac{k^{2} - 16}{k^{2} - 1} = a$

خطوة 1.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أعِد كتابة $16$ بالصيغة $4^{2}$ .

$\frac{(k - 1) (k + 4)}{k - 4} \cdot \frac{k^{2} - 4^{2}}{k^{2} - 1} = a$

خطوة 1.2.2

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = k$ و $b = 4$ .

$\frac{(k - 1) (k + 4)}{k - 4} \cdot \frac{(k + 4) (k - 4)}{k^{2} - 1} = a$

خطوة 1.3

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$\frac{(k - 1) (k + 4)}{k - 4} \cdot \frac{(k + 4) (k - 4)}{k^{2} - 1^{2}} = a$

خطوة 1.3.2

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = k$ و $b = 1$ .

$\frac{(k - 1) (k + 4)}{k - 4} \cdot \frac{(k + 4) (k - 4)}{(k + 1) (k - 1)} = a$

خطوة 1.4

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

ألغِ العامل المشترك لـ $k - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.1

أخرِج العامل $k - 1$ من $(k + 1) (k - 1)$ .

$\frac{(k - 1) (k + 4)}{k - 4} \cdot \frac{(k + 4) (k - 4)}{(k - 1) (k + 1)} = a$

خطوة 1.4.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{(k - 1) (k + 4)}{k - 4} \cdot \frac{(k + 4) (k - 4)}{(k - 1) (k + 1)} = a$

خطوة 1.4.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{k + 4}{k - 4} \cdot \frac{(k + 4) (k - 4)}{k + 1} = a$

خطوة 1.4.2

ألغِ العامل المشترك لـ $k - 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.1

أخرِج العامل $k - 4$ من $(k + 4) (k - 4)$ .

$\frac{k + 4}{k - 4} \cdot \frac{(k - 4) (k + 4)}{k + 1} = a$

خطوة 1.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{k + 4}{k - 4} \cdot \frac{(k - 4) (k + 4)}{k + 1} = a$

خطوة 1.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$(k + 4) \cdot \frac{k + 4}{k + 1} = a$

$\frac{(k + 4) (k + 4)}{k + 1} = a$

خطوة 1.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

ارفع $k + 4$ إلى القوة $1$ .

$\frac{{(k + 4)}^{1} (k + 4)}{k + 1} = a$

خطوة 1.5.2

ارفع $k + 4$ إلى القوة $1$ .

$\frac{{(k + 4)}^{1} {(k + 4)}^{1}}{k + 1} = a$

خطوة 1.5.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{{(k + 4)}^{1 + 1}}{k + 1} = a$

خطوة 1.5.4

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{{(k + 4)}^{2}}{k + 1} = a$

خطوة 2

أوجِد القاسم المشترك الأصغر للحدود في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

يُعد إيجاد القاسم المشترك الأصغر لقائمة القيم بمثابة إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لقواسم تلك القيم.

$k + 1, 1$

خطوة 2.2

احذِف الأقواس.

$k + 1, 1$

خطوة 2.3

المضاعف المشترك الأصغر لإحدى العبارات ولأي منها هو العبارة.

$k + 1$

خطوة 3

اضرب كل حد في $\frac{{(k + 4)}^{2}}{k + 1} = a$ في $k + 1$ لحذف الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كل حد في $\frac{{(k + 4)}^{2}}{k + 1} = a$ في $k + 1$ .

$\frac{{(k + 4)}^{2}}{k + 1} (k + 1) = a (k + 1)$

خطوة 3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $k + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{{(k + 4)}^{2}}{k + 1} (k + 1) = a (k + 1)$

خطوة 3.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

${(k + 4)}^{2} = a (k + 1)$

خطوة 3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

${(k + 4)}^{2} = a k + a \cdot 1$

خطوة 3.3.2

اضرب $a$ في $1$ .

${(k + 4)}^{2} = a k + a$

خطوة 4

أوجِد حل المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على $k$ إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

اطرح $a k$ من كلا المتعادلين.

${(k + 4)}^{2} - a k = a$

خطوة 4.1.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

أعِد كتابة ${(k + 4)}^{2}$ بالصيغة $(k + 4) (k + 4)$ .

$(k + 4) (k + 4) - a k = a$

خطوة 4.1.2.2

وسّع $(k + 4) (k + 4)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$k (k + 4) + 4 (k + 4) - a k = a$

خطوة 4.1.2.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$k \cdot k + k \cdot 4 + 4 (k + 4) - a k = a$

خطوة 4.1.2.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$k \cdot k + k \cdot 4 + 4 k + 4 \cdot 4 - a k = a$

خطوة 4.1.2.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.3.1.1

اضرب $k$ في $k$ .

$k^{2} + k \cdot 4 + 4 k + 4 \cdot 4 - a k = a$

خطوة 4.1.2.3.1.2

انقُل $4$ إلى يسار $k$ .

$k^{2} + 4 \cdot k + 4 k + 4 \cdot 4 - a k = a$

خطوة 4.1.2.3.1.3

اضرب $4$ في $4$ .

$k^{2} + 4 k + 4 k + 16 - a k = a$

خطوة 4.1.2.3.2

أضف $4 k$ و $4 k$ .

$k^{2} + 8 k + 16 - a k = a$

خطوة 4.2

اطرح $a$ من كلا المتعادلين.

$k^{2} + 8 k + 16 - a k - a = 0$

خطوة 4.3

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 4.4

عوّض بقيم $a = 1$ و $b = 8 - a$ و $c = 16 - a$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $k$ .

$\frac{- (8 - a) \pm \sqrt{{(8 - a)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (16 - a))}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$k = \frac{- 1 \cdot 8 + a \pm \sqrt{{(8 - a)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.5.1.2

اضرب $- 1$ في $8$ .

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{{(8 - a)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.5.1.3

اضرب $- - a$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1.3.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$k = \frac{- 8 + 1 a \pm \sqrt{{(8 - a)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.5.1.3.2

اضرب $a$ في $1$ .

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{{(8 - a)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.5.1.4

أعِد كتابة ${(8 - a)}^{2}$ بالصيغة $(8 - a) (8 - a)$ .

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{(8 - a) (8 - a) - 4 \cdot 1 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.5.1.5

وسّع $(8 - a) (8 - a)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1.5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{8 (8 - a) - a (8 - a) - 4 \cdot 1 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.5.1.5.2

طبّق خاصية التوزيع.

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{8 \cdot 8 + 8 (- a) - a (8 - a) - 4 \cdot 1 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.5.1.5.3

طبّق خاصية التوزيع.

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{8 \cdot 8 + 8 (- a) - a \cdot 8 - a (- a) - 4 \cdot 1 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.5.1.6

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1.6.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1.6.1.1

اضرب $8$ في $8$ .

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{64 + 8 (- a) - a \cdot 8 - a (- a) - 4 \cdot 1 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.5.1.6.1.2

اضرب $- 1$ في $8$ .

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{64 - 8 a - a \cdot 8 - a (- a) - 4 \cdot 1 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.5.1.6.1.3

اضرب $8$ في $- 1$ .

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{64 - 8 a - 8 a - a (- a) - 4 \cdot 1 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.5.1.6.1.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{64 - 8 a - 8 a - 1 \cdot (- 1 a \cdot a) - 4 \cdot 1 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.5.1.6.1.5

اضرب $a$ في $a$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1.6.1.5.1

انقُل $a$ .

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{64 - 8 a - 8 a - 1 \cdot (- 1 (a \cdot a)) - 4 \cdot 1 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.5.1.6.1.5.2

اضرب $a$ في $a$ .

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{64 - 8 a - 8 a - 1 \cdot (- 1 a^{2}) - 4 \cdot 1 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.5.1.6.1.6

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{64 - 8 a - 8 a + 1 a^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.5.1.6.1.7

اضرب $a^{2}$ في $1$ .

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{64 - 8 a - 8 a + a^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.5.1.6.2

اطرح $8 a$ من $- 8 a$ .

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{64 - 16 a + a^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.5.1.7

اضرب $- 4$ في $1$ .

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{64 - 16 a + a^{2} - 4 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.5.1.8

طبّق خاصية التوزيع.

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{64 - 16 a + a^{2} - 4 \cdot 16 - 4 (- a)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.5.1.9

اضرب $- 4$ في $16$ .

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{64 - 16 a + a^{2} - 64 - 4 (- a)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.5.1.10

اضرب $- 1$ في $- 4$ .

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{64 - 16 a + a^{2} - 64 + 4 a}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.5.1.11

اطرح $64$ من $64$ .

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{- 16 a + a^{2} + 0 + 4 a}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.5.1.12

أضف $- 16 a$ و $0$ .

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{a^{2} - 16 a + 4 a}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.5.1.13

أضف $- 16 a$ و $4 a$ .

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{a^{2} - 12 a}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.5.1.14

أخرِج العامل $a$ من $a^{2} - 12 a$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1.14.1

أخرِج العامل $a$ من $a^{2}$ .

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{a \cdot a - 12 a}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.5.1.14.2

أخرِج العامل $a$ من $- 12 a$ .

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{a \cdot a + a \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.5.1.14.3

أخرِج العامل $a$ من $a \cdot a + a \cdot - 12$ .

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{a (a - 12)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.5.2

اضرب $2$ في $1$ .

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{a (a - 12)}}{2}$

خطوة 4.6

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$k = - \frac{8 - a - \sqrt{a (a - 12)}}{2}$

$k = - \frac{8 - a + \sqrt{a (a - 12)}}{2}$

$k = - \frac{8 - a - \sqrt{a (a - 12)}}{2}$

$k = - \frac{8 - a + \sqrt{a (a - 12)}}{2}$