الرياضيات الأساسية الأمثلة

$\cos (θ) + \cos (3 θ) = 2 \cos (2 θ)$

خطوة 1

اطرح $2 \cos (2 θ)$ من كلا المتعادلين.

$\cos (θ) + \cos (3 θ) - 2 \cos (2 θ) = 0$

خطوة 2

بسّط المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

استخدِم المتطابقة ثلاثية الزوايا لتحويل $\cos (3 x)$ إلى $4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x)$ .

$\cos (θ) + 4 \cos^{3} (θ) - 3 \cos (θ) - 2 \cos (2 θ) = 0$

خطوة 2.1.2

استخدِم متطابقة ضعف الزاوية لتحويل $\cos (2 x)$ إلى $2 \cos^{2} (x) - 1$ .

$\cos (θ) + 4 \cos^{3} (θ) - 3 \cos (θ) - 2 (2 \cos^{2} (θ) - 1) = 0$

خطوة 2.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\cos (θ) + 4 \cos^{3} (θ) - 3 \cos (θ) - 2 (2 \cos^{2} (θ)) - 2 \cdot - 1 = 0$

خطوة 2.1.4

اضرب $2$ في $- 2$ .

$\cos (θ) + 4 \cos^{3} (θ) - 3 \cos (θ) - 4 \cos^{2} (θ) - 2 \cdot - 1 = 0$

خطوة 2.1.5

اضرب $- 2$ في $- 1$ .

$\cos (θ) + 4 \cos^{3} (θ) - 3 \cos (θ) - 4 \cos^{2} (θ) + 2 = 0$

خطوة 2.2

اطرح $3 \cos (θ)$ من $\cos (θ)$ .

$- 2 \cos (θ) + 4 \cos^{3} (θ) - 4 \cos^{2} (θ) + 2 = 0$

خطوة 3

حلّل $- 2 \cos (θ) + 4 \cos^{3} (θ) - 4 \cos^{2} (θ) + 2$ إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2 \cos (θ) + 4 \cos^{3} (θ) - 4 \cos^{2} (θ) + 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2 \cos (θ)$ .

$2 (- \cos (θ)) + 4 \cos^{3} (θ) - 4 \cos^{2} (θ) + 2 = 0$

خطوة 3.1.2

أخرِج العامل $2$ من $4 \cos^{3} (θ)$ .

$2 (- \cos (θ)) + 2 (2 \cos^{3} (θ)) - 4 \cos^{2} (θ) + 2 = 0$

خطوة 3.1.3

أخرِج العامل $2$ من $- 4 \cos^{2} (θ)$ .

$2 (- \cos (θ)) + 2 (2 \cos^{3} (θ)) + 2 (- 2 \cos^{2} (θ)) + 2 = 0$

خطوة 3.1.4

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$2 (- \cos (θ)) + 2 (2 \cos^{3} (θ)) + 2 (- 2 \cos^{2} (θ)) + 2 (1) = 0$

خطوة 3.1.5

أخرِج العامل $2$ من $2 (- \cos (θ)) + 2 (2 \cos^{3} (θ))$ .

$2 (- \cos (θ) + 2 \cos^{3} (θ)) + 2 (- 2 \cos^{2} (θ)) + 2 (1) = 0$

خطوة 3.1.6

أخرِج العامل $2$ من $2 (- \cos (θ) + 2 \cos^{3} (θ)) + 2 (- 2 \cos^{2} (θ))$ .

$2 (- \cos (θ) + 2 \cos^{3} (θ) - 2 \cos^{2} (θ)) + 2 (1) = 0$

خطوة 3.1.7

أخرِج العامل $2$ من $2 (- \cos (θ) + 2 \cos^{3} (θ) - 2 \cos^{2} (θ)) + 2 (1)$ .

$2 (- \cos (θ) + 2 \cos^{3} (θ) - 2 \cos^{2} (θ) + 1) = 0$

خطوة 3.2

أعِد ترتيب الحدود.

$2 (2 \cos^{3} (θ) - 2 \cos^{2} (θ) - \cos (θ) + 1) = 0$

خطوة 3.3

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$2 (2 \cos^{3} (θ) - 2 \cos^{2} (θ) - \cos (θ) + 1) = 0$

خطوة 3.3.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$2 (2 \cos^{2} (θ) (\cos (θ) - 1) - (\cos (θ) - 1)) = 0$

خطوة 3.4

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $\cos (θ) - 1$ .

$2 ((\cos (θ) - 1) (2 \cos^{2} (θ) - 1)) = 0$

خطوة 3.4.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$2 (\cos (θ) - 1) (2 \cos^{2} (θ) - 1) = 0$

خطوة 4

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$\cos (θ) - 1 = 0$

$2 \cos^{2} (θ) - 1 = 0$

خطوة 5

عيّن قيمة العبارة $\cos (θ) - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $θ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عيّن قيمة $\cos (θ) - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\cos (θ) - 1 = 0$

خطوة 5.2

أوجِد قيمة $θ$ في $\cos (θ) - 1 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$\cos (θ) = 1$

خطوة 5.2.2

خُذ جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $θ$ من داخل جيب التمام.

$θ = \arccos (1)$

خطوة 5.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1

القيمة الدقيقة لـ $\arccos (1)$ هي $0$ .

$θ = 0$

خطوة 5.2.4

دالة جيب التمام موجبة في الربعين الأول والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $2 π$ لإيجاد الحل في الربع الرابع.

$θ = 2 π - 0$

خطوة 5.2.5

اطرح $0$ من $2 π$ .

$θ = 2 π$

خطوة 5.2.6

أوجِد فترة $\cos (θ)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.6.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 5.2.6.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 5.2.6.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 5.2.6.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 5.2.7

فترة دالة $\cos (θ)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$θ = 2 π n, 2 π + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 6

عيّن قيمة العبارة $2 \cos^{2} (θ) - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $θ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

عيّن قيمة $2 \cos^{2} (θ) - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$2 \cos^{2} (θ) - 1 = 0$

خطوة 6.2

أوجِد قيمة $θ$ في $2 \cos^{2} (θ) - 1 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$2 \cos^{2} (θ) = 1$

خطوة 6.2.2

اقسِم كل حد في $2 \cos^{2} (θ) = 1$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

اقسِم كل حد في $2 \cos^{2} (θ) = 1$ على $2$ .

$\frac{2 \cos^{2} (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

خطوة 6.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cos^{2} (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

خطوة 6.2.2.2.1.2

اقسِم $\cos^{2} (θ)$ على $1$ .

$\cos^{2} (θ) = \frac{1}{2}$

خطوة 6.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (θ) = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

خطوة 6.2.4

بسّط $\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.4.1

أعِد كتابة $\sqrt{\frac{1}{2}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

خطوة 6.2.4.2

أي جذر لـ $1$ هو $1$ .

$\cos (θ) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

خطوة 6.2.4.3

اضرب $\frac{1}{\sqrt{2}}$ في $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (θ) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

خطوة 6.2.4.4

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.4.4.1

اضرب $\frac{1}{\sqrt{2}}$ في $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

خطوة 6.2.4.4.2

ارفع $\sqrt{2}$ إلى القوة $1$ .

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

خطوة 6.2.4.4.3

ارفع $\sqrt{2}$ إلى القوة $1$ .

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

خطوة 6.2.4.4.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

خطوة 6.2.4.4.5

أضف $1$ و $1$ .

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

خطوة 6.2.4.4.6

أعِد كتابة ${\sqrt{2}}^{2}$ بالصيغة $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.4.4.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{2}$ في صورة $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 6.2.4.4.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 6.2.4.4.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 6.2.4.4.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.4.4.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 6.2.4.4.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

خطوة 6.2.4.4.6.5

احسِب قيمة الأُس.

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

خطوة 6.2.5

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.5.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

خطوة 6.2.5.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

خطوة 6.2.5.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

خطوة 6.2.6

عيّن كل حل من الحلول لإيجاد قيمة $θ$ .

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

خطوة 6.2.7

أوجِد قيمة $θ$ في $\cos (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.7.1

خُذ جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $θ$ من داخل جيب التمام.

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$

خطوة 6.2.7.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.7.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$ هي $\frac{π}{4}$ .

$θ = \frac{π}{4}$

خطوة 6.2.7.3

$θ = 2 π - \frac{π}{4}$

خطوة 6.2.7.4

بسّط $2 π - \frac{π}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.7.4.1

لكتابة $2 π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$θ = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

خطوة 6.2.7.4.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.7.4.2.1

اجمع $2 π$ و $\frac{4}{4}$ .

$θ = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

خطوة 6.2.7.4.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$θ = \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

خطوة 6.2.7.4.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.7.4.3.1

اضرب $4$ في $2$ .

$θ = \frac{8 π - π}{4}$

خطوة 6.2.7.4.3.2

اطرح $π$ من $8 π$ .

$θ = \frac{7 π}{4}$

خطوة 6.2.7.5

أوجِد فترة $\cos (θ)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.7.5.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 6.2.7.5.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 6.2.7.5.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 6.2.7.5.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 6.2.7.6

فترة دالة $\cos (θ)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$θ = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 6.2.8

أوجِد قيمة $θ$ في $\cos (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.8.1

خُذ جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $θ$ من داخل جيب التمام.

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

خطوة 6.2.8.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.8.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ هي $\frac{3 π}{4}$ .

$θ = \frac{3 π}{4}$

خطوة 6.2.8.3

دالة جيب التمام سالبة في الربعين الثاني والثالث. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $2 π$ لإيجاد الحل في الربع الثالث.

$θ = 2 π - \frac{3 π}{4}$

خطوة 6.2.8.4

بسّط $2 π - \frac{3 π}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.8.4.1

لكتابة $2 π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$θ = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 π}{4}$

خطوة 6.2.8.4.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.8.4.2.1

اجمع $2 π$ و $\frac{4}{4}$ .

$θ = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{3 π}{4}$

خطوة 6.2.8.4.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$θ = \frac{2 π \cdot 4 - 3 π}{4}$

خطوة 6.2.8.4.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.8.4.3.1

اضرب $4$ في $2$ .

$θ = \frac{8 π - 3 π}{4}$

خطوة 6.2.8.4.3.2

اطرح $3 π$ من $8 π$ .

$θ = \frac{5 π}{4}$

خطوة 6.2.8.5

أوجِد فترة $\cos (θ)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.8.5.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 6.2.8.5.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 6.2.8.5.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 6.2.8.5.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 6.2.8.6

فترة دالة $\cos (θ)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$θ = \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 6.2.9

اسرِد جميع الحلول.

$θ = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 6.2.10

وحّد الإجابات.

$θ = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 7

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $2 (\cos (θ) - 1) (2 \cos^{2} (θ) - 1) = 0$ صحيحة.

$θ = 2 π n, 2 π + 2 π n, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 8

ادمج $2 π n$ و $2 π + 2 π n$ في $2 π n$ .

$θ = 2 π n, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ ، لأي عدد صحيح $n$